Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método das raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação do tipo
, a característica é
. No nosso caso, a equação caracteriza-se por:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação cúbica para encontrar as raízes
. Fatorando, percebemos que:
Isso nos dá uma raiz real
e uma equação quadrática
para resolver.
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são
e
.
Passo 5
Com as raízes em mãos (
e
), podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para raízes reais simples, como
, a solução é uma constante
. Para raízes complexas da forma
, a solução é
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
,
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Avalie a integral.
Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy:
Calcule a Transformada de Laplace
, sendo:
Determine a equação do plano que passa pelo ponto
e é perp dicular a reta com equações
e
.