Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método das raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação do tipo , a característica é . No nosso caso, a equação caracteriza-se por:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação cúbica para encontrar as raízes . Fatorando, percebemos que:
Isso nos dá uma raiz real e uma equação quadrática para resolver.

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são e .

Passo 5

Com as raízes em mãos ( e ), podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para raízes reais simples, como , a solução é uma constante . Para raízes complexas da forma , a solução é .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde , e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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Avalie a integral.
Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy:
Calcule a Transformada de Laplace , sendo:
Determine a equação do plano que passa pelo ponto e é perp dicular a reta com equações e .