Determine a equação do plano que passa pelo ponto (1, -4, 2) e é perp dicular a reta com equações x = 1 + 3t, y = 2 + t e z = -3 t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e que é perpendicular a uma reta dada pelas equações paramétricas:
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção da reta que é perpendicular ao plano. Nas equações paramétricas da reta, os coeficientes de representam o vetor diretor da reta. Então, o vetor diretor da reta é:
Como o plano é perpendicular a essa reta, o vetor diretor da reta será normal ao plano, ou seja, será o vetor normal do plano.

Passo 3

Sabendo que o vetor normal do plano é e que o plano passa pelo ponto , podemos usar a forma geral da equação de um plano:
Onde é um ponto genérico no plano, e é o ponto dado .

Passo 4

Vamos expandir essa equação:
Fazendo o produto escalar:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos:

Passo 6

Podemos deixar a equação mais organizada, se preferir:

Resposta

A equação do plano é:

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