Determine a equação do plano que passa pelo ponto e é perp dicular a reta com equações e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e que é perpendicular a uma reta dada pelas equações paramétricas:
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a direção da reta que é perpendicular ao plano. Nas equações paramétricas da reta, os coeficientes de representam o vetor diretor da reta. Então, o vetor diretor da reta é:
Como o plano é perpendicular a essa reta, o vetor diretor da reta será normal ao plano, ou seja, será o vetor normal do plano.
Passo 3
Sabendo que o vetor normal do plano é e que o plano passa pelo ponto , podemos usar a forma geral da equação de um plano:
Onde é um ponto genérico no plano, e é o ponto dado .
Passo 4
Vamos expandir essa equação:
Fazendo o produto escalar:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos:
Passo 6
Podemos deixar a equação mais organizada, se preferir: