Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) do quarto grau que está no enunciado:
. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, usando métodos como a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO de uma forma mais simples:
Isso é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver, vamos encontrar a equação característica associada. Substituímos
por
, onde
é uma constante. Assim, a equação característica fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação característica:
Isso nos dá as raízes:
Passo 5
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da EDO. Cada raiz da equação característica contribui com um termo na solução:
- Para
(raiz dupla): os termos são e . - Para
: o termo é . - Para
: o termo é .
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
,
,
e
são constantes arbitrárias.