Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) do quarto grau que está no enunciado: . A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, usando métodos como a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO de uma forma mais simples:
Isso é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver, vamos encontrar a equação característica associada. Substituímos por , onde é uma constante. Assim, a equação característica fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação característica:
Isso nos dá as raízes:

Passo 5

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da EDO. Cada raiz da equação característica contribui com um termo na solução:
  • Para (raiz dupla): os termos são e .
  • Para : o termo é .
  • Para : o termo é .

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde , , e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

A EDO:
Onde p e q são constantes reais, é conhecida como (a) Prove que fazedno a substituição a EDO anterior se transforma na seguinte EDO de coeficientes constantes:
Resolva a EDO , de duas formas diferentes:
Pelo método dos coeficientes a determinar
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