Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da seguinte equação diferencial ordinária (EDO):
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com equações diferenciais lineares de alta ordem e multiplicidade dos operadores diferenciais. Para resolver, vamos precisar entender como resolver cada fator da EDO e combinar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar cada fator da equação e encontrar suas soluções individuais.
  1. Fator 1:
  2. Fator 2:
  3. Fator 3:

Passo 3

Resolvendo o Fator 1:
Isso significa que:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é:
onde é uma constante arbitrária.

Passo 4

Resolvendo o Fator 2:
Primeiro, encontramos as raízes da equação característica associada:
Resolvendo a equação quadrática:
Como as raízes são complexas e a equação é elevada ao cubo (multiplicidade 3), as soluções são:
onde são constantes arbitrárias.

Passo 5

Resolvendo o Fator 3:
Isso implica:
A solução geral para essa equação, considerando a multiplicidade 2, é:
onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde são constantes arbitrárias.

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