Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da seguinte equação diferencial ordinária (EDO):
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com equações diferenciais lineares de alta ordem e multiplicidade dos operadores diferenciais. Para resolver, vamos precisar entender como resolver cada fator da EDO e combinar as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar cada fator da equação e encontrar suas soluções individuais.
- Fator 1:
- Fator 2:
- Fator 3:
Passo 3
Resolvendo o Fator 1:
Isso significa que:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é:
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 4
Resolvendo o Fator 2:
Primeiro, encontramos as raízes da equação característica associada:
Resolvendo a equação quadrática:
Como as raízes são complexas e a equação é elevada ao cubo (multiplicidade 3), as soluções são:
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Resolvendo o Fator 3:
Isso implica:
A solução geral para essa equação, considerando a multiplicidade 2, é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
são constantes arbitrárias.
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