Resolva a EDO
, de duas formas diferentes:
Pelo método dos coeficientes a determinar
Pelo método dos coeficientes a determinar
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. O conteúdo aqui é de equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente de EDOs lineares com coeficientes constantes. Para resolver essa equação, vamos usar duas técnicas diferentes: o método dos coeficientes a determinar e o método da variação dos parâmetros.
Passo 2
Primeiro Método: Método dos Coeficientes a Determinar
Nesse método, a ideia é supor uma forma para a solução particular baseada na parte não homogênea da equação e depois determinar os coeficientes desconhecidos.
-
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
A equação homogênea é. - Montamos a equação característica:
. - Resolvendo, temos
. - Portanto, a solução geral da homogênea é:
Aqui, e são constantes arbitrárias.
- Montamos a equação característica:
-
Encontrar uma solução particular
para a equação completa:
A parte não homogênea é. Vamos supor que a solução particular tenha a forma: Ondee são coeficientes a serem determinados. -
Calcular as derivadas de
: -
Substituir
, e na equação original: Simplificando: -
Igualar os coeficientes:
- Para
: → - Para
: →
- Para
-
Solução Particular:
-
Solução Geral:
Passo 3
Segundo Método: Variação dos Parâmetros
Esse método é mais geral e pode ser usado quando o método dos coeficientes a determinar não é aplicável. Ele envolve encontrar funções que multiplicam as soluções da homogênea para formar a solução particular.
-
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Já fizemos isso no primeiro método: -
Assumir uma solução particular da forma:Onde
e são funções a serem determinadas. -
Calcular as derivadas de
: - Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Primeira derivada:
-
Aplicar as condições de variação dos parâmetros:
Para simplificar os cálculos, impomos: -
Substituir
e suas derivadas na equação original:
Substituindo na EDO:Após simplificações, chegamos a um sistema de equações parae . -
Resolver o sistema para encontrar
e :
Sem entrar em detalhes complexos, a solução resulta em: -
Encontrar
: Utilizando identidades trigonométricas, simplificamos: -
Solução Geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO
Use o método da variação de parâmetros para achar a solução geral de cada uma das seguintes EDO
;
A EDO:
Onde p e q são constantes reais, é conhecida como (a) Prove que fazedno a substituição
a EDO anterior se transforma na seguinte EDO de coeficientes constantes:
Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO