Resolva a EDO , de duas formas diferentes:
Pelo método dos coeficientes a determinar

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . O conteúdo aqui é de equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente de EDOs lineares com coeficientes constantes. Para resolver essa equação, vamos usar duas técnicas diferentes: o método dos coeficientes a determinar e o método da variação dos parâmetros.

Passo 2

Primeiro Método: Método dos Coeficientes a Determinar
Nesse método, a ideia é supor uma forma para a solução particular baseada na parte não homogênea da equação e depois determinar os coeficientes desconhecidos.
  1. Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
    A equação homogênea é .
    • Montamos a equação característica: .
    • Resolvendo, temos .
    • Portanto, a solução geral da homogênea é: Aqui, e são constantes arbitrárias.
  2. Encontrar uma solução particular para a equação completa:
    A parte não homogênea é . Vamos supor que a solução particular tenha a forma:
    Onde e são coeficientes a serem determinados.
  3. Calcular as derivadas de :
  4. Substituir , e na equação original:
    Simplificando:
  5. Igualar os coeficientes:
    • Para :
    • Para :
  6. Solução Particular:
  7. Solução Geral:

Passo 3

Segundo Método: Variação dos Parâmetros
Esse método é mais geral e pode ser usado quando o método dos coeficientes a determinar não é aplicável. Ele envolve encontrar funções que multiplicam as soluções da homogênea para formar a solução particular.
  1. Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
    Já fizemos isso no primeiro método:
  2. Assumir uma solução particular da forma:
    Onde e são funções a serem determinadas.
  3. Calcular as derivadas de :
    • Primeira derivada:
    • Segunda derivada:
  4. Aplicar as condições de variação dos parâmetros:
    Para simplificar os cálculos, impomos:
  5. Substituir e suas derivadas na equação original:
    Substituindo na EDO:
    Após simplificações, chegamos a um sistema de equações para e .
  6. Resolver o sistema para encontrar e :
    Sem entrar em detalhes complexos, a solução resulta em:
  7. Encontrar :
    Utilizando identidades trigonométricas, simplificamos:
  8. Solução Geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO
Use o método da variação de parâmetros para achar a solução geral de cada uma das seguintes EDO ;
A EDO:
Onde p e q são constantes reais, é conhecida como (a) Prove que fazedno a substituição a EDO anterior se transforma na seguinte EDO de coeficientes constantes:
Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO