A EDO:
x^2 d^2y/dx^2 + p x dy/dx + q y = 0 x > 0
Onde p e q são constantes reais, é conhecida como (a) Prove que fazedno a substituição x = e^z a EDO anterior se transforma na seguinte EDO de coeficientes constantes:
d^2y/dz^2 + (p-1) dy/dz + qy = 0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem dada por:
Nos é solicitado provar que, ao fazer a substituição , essa EDO se transforma em uma EDO com coeficientes constantes:
Para isso, vamos seguir os passos de substituição e derivação adequados.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição proposta: . Isso significa que .
Queremos expressar as derivadas de em relação a em termos de derivadas em relação a . Para isso, usaremos a regra da cadeia.

Passo 3

Calculando a primeira derivada de em relação a :
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada de em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos as expressões encontradas para e na EDO original:
Simplificando termo a termo:
  • O primeiro termo simplifica para
  • O segundo termo simplifica para
  • O terceiro termo permanece
Então, temos:

Passo 6

Vamos agrupar os termos semelhantes:
Essa é a EDO com coeficientes constantes que queríamos obter.

Resposta

Após realizar a substituição , a EDO original se transforma na seguinte EDO com coeficientes constantes:

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