A EDO:
Onde p e q são constantes reais, é conhecida como (a) Prove que fazedno a substituição
a EDO anterior se transforma na seguinte EDO de coeficientes constantes:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem dada por:
Nos é solicitado provar que, ao fazer a substituição
, essa EDO se transforma em uma EDO com coeficientes constantes:
Para isso, vamos seguir os passos de substituição e derivação adequados.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição proposta:
. Isso significa que
.
Queremos expressar as derivadas de
em relação a
em termos de derivadas em relação a
. Para isso, usaremos a regra da cadeia.
Passo 3
Calculando a primeira derivada de
em relação a
:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 4
Agora, calculamos a segunda derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Agora, substituímos as expressões encontradas para
e
na EDO original:
Simplificando termo a termo:
- O primeiro termo simplifica para
- O segundo termo simplifica para
- O terceiro termo permanece
Então, temos:
Passo 6
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Essa é a EDO com coeficientes constantes que queríamos obter.
Resposta
Após realizar a substituição
, a EDO original se transforma na seguinte EDO com coeficientes constantes:
Exercícios relacionados
Resolva a EDO
, de duas formas diferentes:
Pelo método dos coeficientes a determinar
Pelo método dos coeficientes a determinar
Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO
Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO
Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO