Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO
Passo 1
Beleza, a gente tem aqui uma equação diferencial ordinária (EDO) de ordem 7:
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes para encontrar a solução geral dessa EDO. Precisamos encontrar as raízes da equação característica associada para montar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a EDO em uma equação característica. Substituímos
por
, ficando assim:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação característica:
Podemos fatorar
:
Passo 4
Temos então duas partes:
-
, que dá uma raiz tripla -
Vamos resolver a segunda parte:
Pode ser visto como uma equação quadrática em
. Vamos fazer a substituição
:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então,
, o que significa que
, portanto:
Passo 6
Voltando às raízes:
- Temos três raízes iguais a
- Duas raízes
- Duas raízes
Passo 7
Agora, podemos montar a solução geral usando essas raízes. Lembrando que para cada raiz
, adicionamos termos do tipo
. Se a raiz for real e simples, inserimos
. Se houver multiplicidade, adicionamos termos com
multiplicando.
No nosso caso:
- Para
com multiplicidade 3: - Para
: - Para
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO
A EDO
é dita (a) Deduza que se a EDO em questão for exata então a função
deve satisfazer
e
.
Ache a solução geral das seguinte equações diferenciais, pelo método que estimar mais conveniente:
Ache a solução geral das seguinte equações diferenciais, pelo método que estimar mais conveniente: