Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO

Passo 1

Beleza, a gente tem aqui uma equação diferencial ordinária (EDO) de ordem 7:
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes para encontrar a solução geral dessa EDO. Precisamos encontrar as raízes da equação característica associada para montar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a EDO em uma equação característica. Substituímos por , ficando assim:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação característica:
Podemos fatorar :

Passo 4

Temos então duas partes:
  1. , que dá uma raiz tripla
Vamos resolver a segunda parte:
Pode ser visto como uma equação quadrática em . Vamos fazer a substituição :

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, , o que significa que , portanto:

Passo 6

Voltando às raízes:
  • Temos três raízes iguais a
  • Duas raízes
  • Duas raízes

Passo 7

Agora, podemos montar a solução geral usando essas raízes. Lembrando que para cada raiz , adicionamos termos do tipo . Se a raiz for real e simples, inserimos . Se houver multiplicidade, adicionamos termos com multiplicando.
No nosso caso:
  • Para com multiplicidade 3:
  • Para :
  • Para :

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO
A EDO é dita (a) Deduza que se a EDO em questão for exata então a função deve satisfazer e .
Ache a solução geral das seguinte equações diferenciais, pelo método que estimar mais conveniente:
Ache a solução geral das seguinte equações diferenciais, pelo método que estimar mais conveniente: