A EDO
é dita (a) Deduza que se a EDO em questão for exata então a função
deve satisfazer
e
.
Passo 1
O enunciado nos apresenta uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) da forma
. O conteúdo envolve a teoria de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e aplicar condições que tornam a equação exata, deduzindo as relações entre as funções
,
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma EDO ser exata. Uma equação diferencial é dita exata se ela pode ser escrita como a derivada de uma função potencial. Isso facilita encontrar soluções, pois simplifica a equação para uma forma integrável.
Passo 3
Para que a EDO
seja exata, precisamos que exista uma função
tal que a combinação das derivadas de
e dos coeficientes
,
e
satisfaça certas condições de exatidão.
Passo 4
Vamos considerar que a exatidão implica na existência de uma relação entre as derivadas das funções envolvidas. Especificamente, precisamos que:
Isso significa que a função
somada à derivada de
deve ser igual a
.
Passo 5
Além disso, para que a EDO seja exata, a derivada de
em relação a
deve ser igual a
:
Essa condição garante que a função
está corretamente relacionada com os coeficientes da EDO.
Resposta
Se a EDO
for exata, então a função
deve satisfazer:
e
Exercícios relacionados
A EDO:
Onde p e q são constantes reais, é conhecida como (b) Usando a informação de a) resolva as seguintes equações de Euler, para
:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
Confira que a solução geral da EDO em iv) não só está definida para , mas
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
Confira que a solução geral da EDO em iv) não só está definida para
Resolva as EDO
Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO
Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO