A EDO P(x) y'' + Q(x) y' + R(x) y = 0 é dita (a) Deduza que se a EDO em questão for exata então a função f(x) deve satisfazer f(x) + P'(x) = Q(x) e f'(x) = R(x).

Passo 1

O enunciado nos apresenta uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) da forma . O conteúdo envolve a teoria de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e aplicar condições que tornam a equação exata, deduzindo as relações entre as funções , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma EDO ser exata. Uma equação diferencial é dita exata se ela pode ser escrita como a derivada de uma função potencial. Isso facilita encontrar soluções, pois simplifica a equação para uma forma integrável.

Passo 3

Para que a EDO seja exata, precisamos que exista uma função tal que a combinação das derivadas de e dos coeficientes , e satisfaça certas condições de exatidão.

Passo 4

Vamos considerar que a exatidão implica na existência de uma relação entre as derivadas das funções envolvidas. Especificamente, precisamos que:
Isso significa que a função somada à derivada de deve ser igual a .

Passo 5

Além disso, para que a EDO seja exata, a derivada de em relação a deve ser igual a :
Essa condição garante que a função está corretamente relacionada com os coeficientes da EDO.

Resposta

Se a EDO for exata, então a função deve satisfazer:
e

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