A EDO é dita (a) Deduza que se a EDO em questão for exata então a função deve satisfazer e .

Passo 1

O enunciado nos apresenta uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) da forma . O conteúdo envolve a teoria de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e aplicar condições que tornam a equação exata, deduzindo as relações entre as funções , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma EDO ser exata. Uma equação diferencial é dita exata se ela pode ser escrita como a derivada de uma função potencial. Isso facilita encontrar soluções, pois simplifica a equação para uma forma integrável.

Passo 3

Para que a EDO seja exata, precisamos que exista uma função tal que a combinação das derivadas de e dos coeficientes , e satisfaça certas condições de exatidão.

Passo 4

Vamos considerar que a exatidão implica na existência de uma relação entre as derivadas das funções envolvidas. Especificamente, precisamos que:
Isso significa que a função somada à derivada de deve ser igual a .

Passo 5

Além disso, para que a EDO seja exata, a derivada de em relação a deve ser igual a :
Essa condição garante que a função está corretamente relacionada com os coeficientes da EDO.

Resposta

Se a EDO for exata, então a função deve satisfazer:
e

Exercícios relacionados

A EDO:
Onde p e q são constantes reais, é conhecida como (b) Usando a informação de a) resolva as seguintes equações de Euler, para :
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
Confira que a solução geral da EDO em iv) não só está definida para , mas
Resolva as EDO
Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO
Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO