Ache a solução geral das seguinte equações diferenciais, pelo método que estimar mais conveniente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar o método das equações características, que é super útil para resolver esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, precisamos montar a equação característica. Isso acontece substituindo
por
e
por
. Então, nossa equação diferencial vira uma equação algébrica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde,
,
e
. Vamos calcular o discriminante (
) primeiro:
Passo 4
Como
é positivo, temos duas raízes reais e distintas. Vamos calcular cada uma delas:
Calculando os valores:
- Para o
:
- Para o
:
Passo 5
Agora que temos as raízes
e
, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como as raízes são reais e distintas, a solução é dada por:
Substituindo os valores das raízes:
Resposta
A solução geral da equação é:
Exercícios relacionados
Ache a solução geral das seguinte equações diferenciais, pelo método que estimar mais conveniente:
Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO
Ache a solução dos seguintes problemas de valor incial:
(a) Mostre que a solução geral da EDO de segunda ordem:
, onde
, pode ser escrita na forma:
, sendo
e
constantes arbitrárias. Esta forma é frequentemente chamada de