Ache a solução geral das seguinte equações diferenciais, pelo método que estimar mais conveniente:
8 d^2 z / d u^2 + 14 d z / d u - 15 z = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes: . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar o método das equações características, que é super útil para resolver esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, precisamos montar a equação característica. Isso acontece substituindo por e por . Então, nossa equação diferencial vira uma equação algébrica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde, , e . Vamos calcular o discriminante ( ) primeiro:

Passo 4

Como é positivo, temos duas raízes reais e distintas. Vamos calcular cada uma delas:
Calculando os valores:
  1. Para o :
  1. Para o :

Passo 5

Agora que temos as raízes e , podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como as raízes são reais e distintas, a solução é dada por:
Substituindo os valores das raízes:

Resposta

A solução geral da equação é:

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