Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo . Isso significa que estamos lidando com uma EDO de terceira ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica dessa EDO. A equação característica é uma ferramenta que transforma a EDO em uma equação algébrica, facilitando a busca pelas soluções. Para a EDO , substituímos por , ficando:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de , que vão nos dar as soluções da EDO.
Vamos tentar encontrar as raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que as possíveis raízes são os divisores do termo constante .
Testando :
Então, é uma raiz. Agora, vamos fatorar a equação dividindo por :
Agora, resolvemos a quadrática :
Isso nos dá duas raízes:
Portanto, as três raízes são , e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da EDO. Cada raiz distinta da equação característica corresponde a uma solução exponencial da forma . Como temos três raízes distintas, a solução geral será a combinação linear delas:
Onde , e são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

Exercícios relacionados

A EDO é dita (a) Deduza que se a EDO em questão for exata então a função deve satisfazer e .
A EDO:
Onde p e q são constantes reais, é conhecida como (b) Usando a informação de a) resolva as seguintes equações de Euler, para :
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
Confira que a solução geral da EDO em iv) não só está definida para , mas
Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO
Ache a solução geral das seguinte equações diferenciais, pelo método que estimar mais conveniente: