Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo
. Isso significa que estamos lidando com uma EDO de terceira ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica dessa EDO. A equação característica é uma ferramenta que transforma a EDO em uma equação algébrica, facilitando a busca pelas soluções. Para a EDO
, substituímos
por
, ficando:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação cúbica
para encontrar os valores de
, que vão nos dar as soluções da EDO.
Vamos tentar encontrar as raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que as possíveis raízes são os divisores do termo constante
.
Testando
:
Então,
é uma raiz. Agora, vamos fatorar a equação dividindo por
:
Agora, resolvemos a quadrática
:
Isso nos dá duas raízes:
Portanto, as três raízes são
,
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da EDO. Cada raiz distinta da equação característica corresponde a uma solução exponencial da forma
. Como temos três raízes distintas, a solução geral será a combinação linear delas:
Onde
,
e
são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.