Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO y''' + 3y'' - y' - 3y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo . Isso significa que estamos lidando com uma EDO de terceira ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica dessa EDO. A equação característica é uma ferramenta que transforma a EDO em uma equação algébrica, facilitando a busca pelas soluções. Para a EDO , substituímos por , ficando:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de , que vão nos dar as soluções da EDO.
Vamos tentar encontrar as raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que as possíveis raízes são os divisores do termo constante .
Testando :
Então, é uma raiz. Agora, vamos fatorar a equação dividindo por :
Agora, resolvemos a quadrática :
Isso nos dá duas raízes:
Portanto, as três raízes são , e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da EDO. Cada raiz distinta da equação característica corresponde a uma solução exponencial da forma . Como temos três raízes distintas, a solução geral será a combinação linear delas:
Onde , e são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

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