Resolva as EDO

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de terceira ordem:
O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Precisaremos encontrar a solução geral dessa EDO, que é composta pela solução da equação homogênea (onde o lado direito é zero) e pela solução particular (relacionada ao lado direito da equação).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Para resolver essa equação, encontramos a equação característica, que é uma equação polinomial associada à EDO:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as raízes da equação característica:
Percebemos que é uma raiz, pois substituindo na equação:
Como é uma raiz com multiplicidade 3 (ou seja, se repete três vezes), a solução geral da parte homogênea é:
Aqui, são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (não fornecidas na questão).

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa. O lado direito da equação é , que é um polinômio de quarto grau.
Como o lado direito é um polinômio, assumimos que a solução particular também seja um polinômio de mesmo grau. Portanto, vamos supor:
Onde são constantes que precisamos determinar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 6

Substituímos , , e na equação original:
Vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de dos dois lados da equação:
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.

Passo 8

Primeiro, sabemos que .
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituímos e na terceira equação:
Substituímos , , e na quarta equação:
Finalmente, substituímos , , e na quinta equação:

Resposta

Então, a solução particular é:
E a solução geral da equação diferencial é:
Onde são constantes arbitrárias.

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A EDO:
Onde p e q são constantes reais, é conhecida como (b) Usando a informação de a) resolva as seguintes equações de Euler, para :
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
Confira que a solução geral da EDO em iv) não só está definida para , mas