Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de terceira ordem:
O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Precisaremos encontrar a solução geral dessa EDO, que é composta pela solução da equação homogênea (onde o lado direito é zero) e pela solução particular (relacionada ao lado direito da equação).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Para resolver essa equação, encontramos a equação característica, que é uma equação polinomial associada à EDO:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as raízes da equação característica:
Percebemos que é uma raiz, pois substituindo na equação:
Como é uma raiz com multiplicidade 3 (ou seja, se repete três vezes), a solução geral da parte homogênea é:
Aqui, são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (não fornecidas na questão).
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular () para a equação completa. O lado direito da equação é , que é um polinômio de quarto grau.
Como o lado direito é um polinômio, assumimos que a solução particular também seja um polinômio de mesmo grau. Portanto, vamos supor:
Onde são constantes que precisamos determinar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de :
Passo 6
Substituímos , , e na equação original:
Vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de dos dois lados da equação:
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.