Resolva as EDO d/dx ((d^2/dx^2 - 1)(d/dx - 2) y) = x^2 - 2 e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que envolve derivadas e operadores diferenciais. A equação é:
O conteúdo da matéria aqui envolve Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior e Fatores de Operadores Lineares. Para resolver essa EDO, vamos precisar conhecer como fatorar operadores diferenciais e encontrar soluções para equações homogêneas e não homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a equação. Temos operadores diferenciais multiplicados uns pelos outros atuando sobre . Para facilitar, vamos expandir a equação:
Isso significa que temos um operador de terceira ordem aplicado a . Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar .

Passo 3

Vamos resolver essa EDO em duas partes: a solução da equação homogênea e a solução particular.
A equação homogênea associada é:
Primeiro, resolvemos essa parte para encontrar a solução geral da homogênea.

Passo 4

Para resolver a equação homogênea, vamos encontrar as raízes características associadas ao operador diferencial. Vamos substituir por :
Isso nos dá as raízes:

Passo 5

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
Simplificando para 1:
Onde são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se forem fornecidas).

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea:
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é útil quando o lado direito é uma combinação de funções polinomiais, exponenciais, ou senoidais.

Passo 7

Observando o lado direito , propomos uma forma para que cubra essas partes:
Para , assumimos:
Para , já que é uma solução da homogênea (observamos na solução homogênea), precisamos multiplicar por para evitar duplicidade:
Então, nossa solução particular proposta é:

Passo 8

Agora, derivamos e substituímos na equação original para encontrar os coeficientes .
Primeiro, encontramos as derivadas necessárias:

Passo 9

Substituindo e suas derivadas na equação original:
Após calcular as derivadas e simplificar, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar .

Passo 10

Após resolver o sistema de equações obtido, obtemos os valores dos coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 11

Finalmente, somamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da EDO:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde são constantes arbitrárias.

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