Resolva as EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que envolve derivadas e operadores diferenciais. A equação é:
O conteúdo da matéria aqui envolve Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior e Fatores de Operadores Lineares. Para resolver essa EDO, vamos precisar conhecer como fatorar operadores diferenciais e encontrar soluções para equações homogêneas e não homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a equação. Temos operadores diferenciais multiplicados uns pelos outros atuando sobre
. Para facilitar, vamos expandir a equação:
Isso significa que temos um operador de terceira ordem aplicado a
. Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar
.
Passo 3
Vamos resolver essa EDO em duas partes: a solução da equação homogênea e a solução particular.
A equação homogênea associada é:
Primeiro, resolvemos essa parte para encontrar a solução geral da homogênea.
Passo 4
Para resolver a equação homogênea, vamos encontrar as raízes características associadas ao operador diferencial. Vamos substituir
por
:
Isso nos dá as raízes:
Passo 5
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
Simplificando
para 1:
Onde
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se forem fornecidas).
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é útil quando o lado direito é uma combinação de funções polinomiais, exponenciais, ou senoidais.
Passo 7
Observando o lado direito
, propomos uma forma para
que cubra essas partes:
Para
, assumimos:
Para
, já que
é uma solução da homogênea (observamos
na solução homogênea), precisamos multiplicar por
para evitar duplicidade:
Então, nossa solução particular proposta é:
Passo 8
Agora, derivamos
e substituímos na equação original para encontrar os coeficientes
.
Primeiro, encontramos as derivadas necessárias:
Passo 9
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Após calcular as derivadas e simplificar, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar
.
Passo 10
Após resolver o sistema de equações obtido, obtemos os valores dos coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 11
Finalmente, somamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da EDO:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
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Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO
A EDO:
Onde p e q são constantes reais, é conhecida como (b) Usando a informação de a) resolva as seguintes equações de Euler, para
:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
Confira que a solução geral da EDO em iv) não só está definida para , mas
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
Confira que a solução geral da EDO em iv) não só está definida para
A EDO
é dita (a) Deduza que se a EDO em questão for exata então a função
deve satisfazer
e
.