A EDO:
x^2 d^2y/dx^2 + p x dy/dx + q y = 0 x > 0
Onde p e q são constantes reais, é conhecida como (b) Usando a informação de a) resolva as seguintes equações de Euler, para x > 0 :
i) x^2 y'' + x y' + y = 0
ii) x^2 y'' + 4 x y' + 2 y = 0
iii) x^2 y'' + 3 x y' + 5/4 y = 0
iv) x^2 y'' - 4 x y' + 6 y = 0
v) x^2 y'' - 3 x y' + 4 y = 0
vi) x^2 y'' + 2 x y' + 1/4 y = 0
Confira que a solução geral da EDO em iv) não só está definida para x > 0, mas ∀ x em R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício apresenta várias equações diferenciais de Euler da forma geral:
Nosso objetivo é resolver essas equações para diferentes valores de e . Para isso, vamos precisar entender como resolver equações de Euler de segunda ordem, que geralmente envolvem assumir uma solução do tipo e encontrar os valores de que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução da equação de Euler tem a forma , onde é uma constante que precisamos determinar. Essa é uma técnica comum para resolver equações diferenciais com coeficientes que são polinômios em .

Passo 3

Com , calculamos as derivadas necessárias:

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial original:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Fatoramos (que nunca é zero para ):
Isso implica que o termo dentro dos colchetes deve ser igual a zero:
Essa é a equação característica que precisamos resolver para encontrar os valores de .

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 7

Dependendo do discriminante , teremos diferentes tipos de soluções:
  • Dois valores reais distintos de : solução geral é
  • Dois valores reais iguais de : solução geral é
  • Valores complexos de : solução geral envolve funções senoidais e cossenoidais multiplicadas por uma potência de

Passo 8

Vamos aplicar esse método para cada uma das equações dadas:

i)

Aqui, e . A equação característica fica:
Resolvendo:
Com , a solução geral é:

ii)

Aqui, e . Equação característica:
Resolvendo:
Solução geral:

iii)

Aqui, e . Equação característica:
Resolvendo:
Solução geral:

iv)

Aqui, e . Equação característica:
Resolvendo:
Solução geral:

v)

Aqui, e . Equação característica:
Resolvendo:
Como temos uma raiz dupla, a solução geral é:

vi)

Aqui, e . Equação característica:
Resolvendo:
Solução geral:

Resposta

As soluções gerais das equações de Euler são:
i)
ii)
iii)
iv) (válida para todo )
v)
vi)

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