A EDO:
Onde p e q são constantes reais, é conhecida como (b) Usando a informação de a) resolva as seguintes equações de Euler, para
:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
Confira que a solução geral da EDO em iv) não só está definida para
, mas
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
Confira que a solução geral da EDO em iv) não só está definida para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício apresenta várias equações diferenciais de Euler da forma geral:
Nosso objetivo é resolver essas equações para diferentes valores de
e
. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações de Euler de segunda ordem, que geralmente envolvem assumir uma solução do tipo
e encontrar os valores de
que satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução da equação de Euler tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar. Essa é uma técnica comum para resolver equações diferenciais com coeficientes que são polinômios em
.
Passo 3
Com
, calculamos as derivadas necessárias:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Fatoramos
(que nunca é zero para
):
Isso implica que o termo dentro dos colchetes deve ser igual a zero:
Essa é a equação característica que precisamos resolver para encontrar os valores de
.
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 7
Dependendo do discriminante
, teremos diferentes tipos de soluções:
- Dois valores reais distintos de
: solução geral é - Dois valores reais iguais de
: solução geral é - Valores complexos de
: solução geral envolve funções senoidais e cossenoidais multiplicadas por uma potência de
Passo 8
Vamos aplicar esse método para cada uma das equações dadas:
i)
Aqui,
e
. A equação característica fica:
Resolvendo:
Com
, a solução geral é:
ii)
Aqui,
e
. Equação característica:
Resolvendo:
Solução geral:
iii)
Aqui,
e
. Equação característica:
Resolvendo:
Solução geral:
iv)
Aqui,
e
. Equação característica:
Resolvendo:
Solução geral:
v)
Aqui,
e
. Equação característica:
Resolvendo:
Como temos uma raiz dupla, a solução geral é:
vi)
Aqui,
e
. Equação característica:
Resolvendo:
Solução geral:
Resposta
As soluções gerais das equações de Euler são:
i)
ii)
iii)
iv)
(válida para todo
)
v)
vi)
Exercícios relacionados
Resolva as EDO
Resolva as EDO
A EDO
é dita (a) Deduza que se a EDO em questão for exata então a função
deve satisfazer
e
.
Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO