Ache a solução geral da em torno do ponto e determine o seu raio de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo . Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação em torno do ponto . Para isso, vamos usar a Série de Potências, que nos ajuda a encontrar soluções de EDOs próximas a um ponto específico. Além disso, precisamos determinar o raio de convergência dessa série, ou seja, até onde essa solução é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO de uma forma que facilite o uso da série de potências. Dividimos toda a equação por para isolar :
Isso nos deixa com coeficientes que são funções de , o que é comum quando usamos séries de potências para resolver EDOs.

Passo 3

Agora, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Derivamos essa série para encontrar e :

Passo 4

Substituímos , , e na equação diferencial reescrita:
Para simplificar, vamos manipular as frações envolvendo .

Passo 5

Observamos que pode ser expandido em uma série geométrica:
Isso é válido para . Usamos essa expansão para reescrever os termos da EDO.

Passo 6

Multiplicamos as séries pelos fatores correspondentes e reorganizamos os termos de acordo com as potências de . Isso nos permitirá igualar os coeficientes de cada potência de a zero, já que a equação deve valer para todo dentro do raio de convergência.

Passo 7

Após igualar os coeficientes de cada potência de a zero, obtemos uma relação de recorrência que nos permite encontrar os coeficientes em termos dos anteriores. Resolvendo essa relação, encontramos uma expressão geral para .

Passo 8

Com os coeficientes determinados, substituímos de volta na série de potências para obter a solução geral da EDO em torno de .

Passo 9

Por fim, para determinar o raio de convergência da série, observamos onde a expansão original é válida, que é para . Portanto, o raio de convergência da solução encontrada é 1.

Resposta

A solução geral da equação diferencial em torno de é dada por uma série de potências convergente para , com raio de convergência igual a 1.

Exercícios relacionados

O problema e , onde
é associado a carga de um capacitor em um circuito de tensão durante o intervalo de tempo .
Determine a resposta de um oscilador amortecido submetido a uma força .
Em cada um dos casos, faça um esboço das extensões pares e ímpares das funções listadas e determine suas séries de Fourier de senos e cossenos.
a) Mostre que se é uma função contínua em então
(Sugestão: Use o Teorema do Valor Médio para Integrais)
b) Usando a), determine a solução do problema de valor inicial abaixo