Ache a solução geral da
em torno do ponto
e determine o seu raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo
. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação em torno do ponto
. Para isso, vamos usar a Série de Potências, que nos ajuda a encontrar soluções de EDOs próximas a um ponto específico. Além disso, precisamos determinar o raio de convergência dessa série, ou seja, até onde essa solução é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO de uma forma que facilite o uso da série de potências. Dividimos toda a equação por
para isolar
:
Isso nos deixa com coeficientes que são funções de
, o que é comum quando usamos séries de potências para resolver EDOs.
Passo 3
Agora, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Derivamos essa série para encontrar
e
:
Passo 4
Substituímos
,
, e
na equação diferencial reescrita:
Para simplificar, vamos manipular as frações envolvendo
.
Passo 5
Observamos que
pode ser expandido em uma série geométrica:
Isso é válido para
. Usamos essa expansão para reescrever os termos da EDO.
Passo 6
Multiplicamos as séries pelos fatores correspondentes e reorganizamos os termos de acordo com as potências de
. Isso nos permitirá igualar os coeficientes de cada potência de
a zero, já que a equação deve valer para todo
dentro do raio de convergência.
Passo 7
Após igualar os coeficientes de cada potência de
a zero, obtemos uma relação de recorrência que nos permite encontrar os coeficientes
em termos dos anteriores. Resolvendo essa relação, encontramos uma expressão geral para
.
Passo 8
Com os coeficientes
determinados, substituímos de volta na série de potências para obter a solução geral da EDO em torno de
.
Passo 9
Por fim, para determinar o raio de convergência da série, observamos onde a expansão original
é válida, que é para
. Portanto, o raio de convergência da solução encontrada é 1.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
em torno de
é dada por uma série de potências convergente para
, com raio de convergência igual a 1.