a) Mostre que se é uma função contínua em então
(Sugestão: Use o Teorema do Valor Médio para Integrais)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que, se a função é contínua no intervalo , então a transformada de Laplace de é igual a . O conteúdo aqui envolve Transformadas de Laplace e a função delta de Dirac. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema do Valor Médio para Integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é definida por:
Aqui, é uma variável complexa. No nosso caso, .

Passo 3

Agora, vamos substituir na definição da transformada de Laplace:
A função delta de Dirac, , tem a propriedade de “selecionar” o valor da função no ponto . Isso significa que, na integral, só contribui o valor em .

Passo 4

Aplicando a propriedade da delta de Dirac na integral, temos:
Isso porque a delta “puxa” para , e substitui na função .

Passo 5

Além disso, para justificar isso, podemos usar o Teorema do Valor Médio para Integrais, que nos diz que, se é contínua em , então existe um ponto em tal que:
Como a delta está concentrada em , vemos que , confirmando que .

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Ache a solução geral da em torno do ponto e determine o seu raio de convergência.
O problema e , onde
é associado a carga de um capacitor em um circuito de tensão durante o intervalo de tempo .
Determine a resposta de um oscilador amortecido submetido a uma força .
b) Usando a), determine a solução do problema de valor inicial abaixo
Utilize a fórmula dt para mostrar que o perímetro de uma circunferência de raio é .