a) Mostre que se
é uma função contínua em
então
(Sugestão: Use o Teorema do Valor Médio para Integrais)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que, se a função
é contínua no intervalo
, então a transformada de Laplace de
é igual a
. O conteúdo aqui envolve Transformadas de Laplace e a função delta de Dirac. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema do Valor Médio para Integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é definida por:
Aqui,
é uma variável complexa. No nosso caso,
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na definição da transformada de Laplace:
A função delta de Dirac,
, tem a propriedade de “selecionar” o valor da função no ponto
. Isso significa que, na integral, só contribui o valor em
.
Passo 4
Aplicando a propriedade da delta de Dirac na integral, temos:
Isso porque a delta “puxa”
para
, e substitui na função
.
Passo 5
Além disso, para justificar isso, podemos usar o Teorema do Valor Médio para Integrais, que nos diz que, se
é contínua em
, então existe um ponto
em
tal que:
Como a delta está concentrada em
, vemos que
, confirmando que
.
Resposta
Portanto, mostramos que: