(Sugestão: Use o Teorema do Valor Médio para Integrais)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que, se a função é contínua no intervalo , então a transformada de Laplace de é igual a . O conteúdo aqui envolve Transformadas de Laplace e a função delta de Dirac. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema do Valor Médio para Integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é definida por:
Aqui, é uma variável complexa. No nosso caso, .
Passo 3
Agora, vamos substituir na definição da transformada de Laplace:
A função delta de Dirac, , tem a propriedade de “selecionar” o valor da função no ponto . Isso significa que, na integral, só contribui o valor em .
Passo 4
Aplicando a propriedade da delta de Dirac na integral, temos:
Isso porque a delta “puxa” para , e substitui na função .
Passo 5
Além disso, para justificar isso, podemos usar o Teorema do Valor Médio para Integrais, que nos diz que, se é contínua em , então existe um ponto em tal que:
Como a delta está concentrada em , vemos que , confirmando que .