Em cada um dos casos, faça um esboço das extensões pares e ímpares das funções listadas e determine suas séries de Fourier de senos e cossenos.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está pedindo o exercício. Temos a função definida no intervalo . A tarefa é estender essa função de duas maneiras diferentes: par e ímpar, e depois determinar suas séries de Fourier usando senos e cossenos. Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções pares e ímpares, extensões de funções e a construção das séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são funções pares e ímpares:
  • Função par: . Essas funções têm simetria em relação ao eixo y.
  • Função ímpar: . Essas funções têm simetria em relação à origem.
Vamos começar fazendo a extensão par da função .

Passo 3

Extensão Par:
Para estender de forma par no intervalo , refletimos a parte de da função para . Assim, a função extendida fica:
Isso significa que para todo no intervalo , .

Passo 4

Agora, vamos determinar a série de Fourier para a função par . Como é uma função par, a série de Fourier será composta apenas por cossenos. A forma geral da série é:
Onde é o semi-período da função.

Passo 5

Vamos calcular os coeficientes e :
Como a função é par, podemos simplificar:
Calculando a integral:
Para :
Novamente, pela paridade da função:
Esse integral pode ser resolvido por partes ou usando tabelas de integrais.

Passo 6

Após calcular os coeficientes (o que envolve cálculos mais detalhados), a série de Fourier da extensão par da função é:
Onde são os coeficientes obtidos no passo anterior.

Passo 7

Agora, vamos fazer a extensão ímpar da função . Isso implica que para , a função será .
Extensão Ímpar:

Passo 8

Agora, vamos determinar a série de Fourier para a função ímpar . Como é uma função ímpar, a série de Fourier será composta apenas por senos. A forma geral da série é:
Onde .

Passo 9

Vamos calcular os coeficientes :
Como a função ímpar multiplicada por seno (também ímpar) resulta em função par, a integral pode ser simplificada:
Esse integral também pode ser resolvido por partes ou usando tabelas de integrais.

Passo 10

Após calcular os coeficientes (novamente, envolve cálculos detalhados), a série de Fourier da extensão ímpar da função é:
Onde são os coeficientes obtidos no passo anterior.

Resposta

As séries de Fourier da função no intervalo são:
  • Extensão Par:
  • Extensão Ímpar:
Onde os coeficientes e são determinados pelos cálculos de integrais apresentados nos passos anteriores.

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