Em cada um dos casos, faça um esboço das extensões pares e ímpares das funções listadas e determine suas séries de Fourier de senos e cossenos.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está pedindo o exercício. Temos a função
definida no intervalo
. A tarefa é estender essa função de duas maneiras diferentes: par e ímpar, e depois determinar suas séries de Fourier usando senos e cossenos. Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções pares e ímpares, extensões de funções e a construção das séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são funções pares e ímpares:
- Função par:
. Essas funções têm simetria em relação ao eixo y. - Função ímpar:
. Essas funções têm simetria em relação à origem.
Vamos começar fazendo a extensão par da função
.
Passo 3
Extensão Par:
Para estender
de forma par no intervalo
, refletimos a parte de
da função para
. Assim, a função extendida
fica:
Isso significa que para todo
no intervalo
,
.
Passo 4
Agora, vamos determinar a série de Fourier para a função par
. Como é uma função par, a série de Fourier será composta apenas por cossenos. A forma geral da série é:
Onde
é o semi-período da função.
Passo 5
Vamos calcular os coeficientes
e
:
Como a função é par, podemos simplificar:
Calculando a integral:
Para
:
Novamente, pela paridade da função:
Esse integral pode ser resolvido por partes ou usando tabelas de integrais.
Passo 6
Após calcular os coeficientes
(o que envolve cálculos mais detalhados), a série de Fourier da extensão par da função é:
Onde
são os coeficientes obtidos no passo anterior.
Passo 7
Agora, vamos fazer a extensão ímpar da função
. Isso implica que para
, a função será
.
Extensão Ímpar:
Passo 8
Agora, vamos determinar a série de Fourier para a função ímpar
. Como é uma função ímpar, a série de Fourier será composta apenas por senos. A forma geral da série é:
Onde
.
Passo 9
Vamos calcular os coeficientes
:
Como a função ímpar multiplicada por seno (também ímpar) resulta em função par, a integral pode ser simplificada:
Esse integral também pode ser resolvido por partes ou usando tabelas de integrais.
Passo 10
Após calcular os coeficientes
(novamente, envolve cálculos detalhados), a série de Fourier da extensão ímpar da função é:
Onde
são os coeficientes obtidos no passo anterior.
Resposta
As séries de Fourier da função
no intervalo
são:
- Extensão Par:
- Extensão Ímpar:
Onde os coeficientes
e
são determinados pelos cálculos de integrais apresentados nos passos anteriores.
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O problema
e
, onde
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.
Determine a resposta de um oscilador amortecido submetido a uma força
.
Determine a resposta
Ache a solução geral da
em torno do ponto
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