b) Usando a), determine a solução do problema de valor inicial abaixo

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de equação diferencial aqui. Especificamente, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem que envolve uma função delta de Dirac, que é tipo um impulso. O problema também inclui condições iniciais, ou seja, os valores de e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias (EDOs) e entender como a função delta afeta a solução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar mais clara:
Aqui, é a segunda derivada de em relação a , e é a função delta de Dirac centrada em . As condições iniciais dadas são e .

Passo 3

Vamos lembrar que a função delta de Dirac, , é uma função que é zero em todos os lugares, exceto em , onde ela “explode” de forma que a integral dela sobre qualquer intervalo que contenha é 1. Na prática, isso significa que a equação tem um “impulso” em .

Passo 4

Para resolver a equação, vamos dividir em duas partes:
  1. Para : A função delta é zero, então a equação fica homogênea:
  2. Para : A função delta só age exatamente em , então a equação também é homogênea depois do impulso:
No entanto, no momento , o impulso causa uma descontinuidade na derivada de .

Passo 5

Vamos resolver a equação homogênea . A solução geral dessa equação é:
Onde e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 6

Aplicando as condições iniciais :
E para , primeiro encontramos a derivada:
Aplicando :
Então, a solução para é:

Passo 7

Agora, vamos considerar o efeito do impulso em . A presença da função delta faz com que a derivada de tenha um salto nesse ponto. Para encontrar esse salto, integramos a equação diferencial em torno de :
O termo , e tende a zero porque a função é descontínua apenas na derivada. Portanto:
Isso significa que a derivada de aumenta em 1 exatamente no ponto .

Passo 8

Antes do impulso, temos:
Após o impulso:
Então, para , a solução geral ainda é , mas com novas constantes e .

Passo 9

Precisamos garantir que a solução seja contínua em . Assim, igualamos as soluções antes e depois do impulso no ponto :
Antes:
Depois:
Igualando:

Passo 10

Agora, usamos a derivada contínua após o impulso:
A derivada para é:
Em :
Sabemos que , então:

Passo 11

Assim, para , a solução é:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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