O problema e , onde
é associado a carga de um capacitor em um circuito de tensão durante o intervalo de tempo .
Determine a resposta de um oscilador amortecido submetido a uma força .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial de segunda ordem que modela um oscilador amortecido submetido a uma força externa . A equação é:
com condições iniciais e . A força é definida de forma que ela é 1 no intervalo e 0 fora desse intervalo. Nosso objetivo é encontrar a função que descreve a resposta desse sistema.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares não homogêneas e métodos de solução, como o método dos coeficientes indeterminados ou transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando :
Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:

Passo 3

Para resolver essa equação homogênea, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Os valores de são complexos:

Passo 4

Com raízes complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos considerar a solução particular para a equação completa. Como é uma função por partes, precisamos analisar dois casos:
  1. Quando (antes de e depois de )
  2. Quando (entre e )
Vamos começar assumindo uma solução constante para :
Substituindo na equação original:
Então, a solução particular é quando .

Passo 6

Para , a solução particular é zero, ou seja, .

Passo 7

Portanto, a solução geral do sistema será diferente nos intervalos de tempo:
  • Para e :
  • Para :

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais e para determinar e .
Para :
Então, .
Calculando a derivada :
Como , simplifica para:
Então, .

Passo 9

Com e , a solução geral simplifica:
  • Para e :
  • Para :

Resposta

A resposta do oscilador amortecido submetido à força é:

Exercícios relacionados

Em cada um dos casos, faça um esboço das extensões pares e ímpares das funções listadas e determine suas séries de Fourier de senos e cossenos.
Calcular as derivadas das expressőes abaixo, usando as fórmulas de derivação:
Ache a solução geral da em torno do ponto e determine o seu raio de convergência.
a) Mostre que se é uma função contínua em então
(Sugestão: Use o Teorema do Valor Médio para Integrais)