O problema
e
, onde
é associado a carga de um capacitor em um circuito de tensão durante o intervalo de tempo
.
Determine a resposta
de um oscilador amortecido submetido a uma força
.
Determine a resposta
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial de segunda ordem que modela um oscilador amortecido submetido a uma força externa
. A equação é:
com condições iniciais
e
. A força
é definida de forma que ela é 1 no intervalo
e 0 fora desse intervalo. Nosso objetivo é encontrar a função
que descreve a resposta desse sistema.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares não homogêneas e métodos de solução, como o método dos coeficientes indeterminados ou transformadas de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando
:
Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:
Passo 3
Para resolver essa equação homogênea, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Os valores de
são complexos:
Passo 4
Com raízes complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos considerar a solução particular
para a equação completa. Como
é uma função por partes, precisamos analisar dois casos:
- Quando
(antes de e depois de ) - Quando
(entre e )
Vamos começar assumindo uma solução constante para
:
Substituindo na equação original:
Então, a solução particular é
quando
.
Passo 6
Para
, a solução particular é zero, ou seja,
.
Passo 7
Portanto, a solução geral
do sistema será diferente nos intervalos de tempo:
- Para
e :
- Para
:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais
e
para determinar
e
.
Para
:
Então,
.
Calculando a derivada
:
Como
, simplifica para:
Então,
.
Passo 9
Com
e
, a solução geral simplifica:
- Para
e :
- Para
:
Resposta
A resposta do oscilador amortecido submetido à força
é: