é associado a carga de um capacitor em um circuito de tensão durante o intervalo de tempo .
Determine a resposta de um oscilador amortecido submetido a uma força .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial de segunda ordem que modela um oscilador amortecido submetido a uma força externa . A equação é:
com condições iniciais e . A força é definida de forma que ela é 1 no intervalo e 0 fora desse intervalo. Nosso objetivo é encontrar a função que descreve a resposta desse sistema.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares não homogêneas e métodos de solução, como o método dos coeficientes indeterminados ou transformadas de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando :
Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:
Passo 3
Para resolver essa equação homogênea, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Os valores de são complexos:
Passo 4
Com raízes complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos considerar a solução particular para a equação completa. Como é uma função por partes, precisamos analisar dois casos:
Quando (antes de e depois de )
Quando (entre e )
Vamos começar assumindo uma solução constante para :
Substituindo na equação original:
Então, a solução particular é quando .
Passo 6
Para , a solução particular é zero, ou seja, .
Passo 7
Portanto, a solução geral do sistema será diferente nos intervalos de tempo:
Para e :
Para :
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais e para determinar e .
Para :
Então, .
Calculando a derivada :
Como , simplifica para:
Então, .
Passo 9
Com e , a solução geral simplifica:
Para e :
Para :
Resposta
A resposta do oscilador amortecido submetido à força é: