Ache a solução geral das EDOs

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Basicamente, vamos encontrar uma solução geral que abrange todas as possíveis soluções dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à EDO. Para uma equação do tipo:
a equação característica é:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então,

Passo 4

Vamos calcular o discriminante ( ):
Como , temos duas raízes reais e distintas.

Passo 5

Agora, calculamos as raízes:
Então,

Passo 6

Com as raízes e encontradas, a solução geral da EDO é dada por:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se forem fornecidas).

Resposta

A solução geral da EDO é:

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Aplicando redução de ordem encontre uma segunda solução da EDO e verifique a validade desta solução
Considere a equação diferencial linear de segunda ordem, não homogênea, com coeficientes constantes,
Na unidade anterior vimos que a solução geral da homogênea associada é , onde as funções dependem das raízes do polinômio característico . A função dada pelo determinante
denomina-se wronskiano de .
a) Mostre que para todo ;
b) Mostre que qualquer soluçao particular da equaçao acima tem a forma
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