Aplicando redução de ordem encontre uma segunda solução da EDO e verifique a validade desta solução
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: Precisamos encontrar uma segunda solução para a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por
, sabendo que já temos uma solução
. Para resolver isso, vamos utilizar o método de redução de ordem, que nos ajuda a encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução da EDO homogênea.
Passo 2
Primeiro, entendamos que a EDO dada é linear e de segunda ordem. O método de redução de ordem consiste em assumir que a segunda solução
pode ser escrita como
, onde
é uma função que precisamos determinar. Isso simplifica a equação, permitindo que encontremos
.
Passo 3
Vamos substituir
na EDO original. Para isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
:
Passo 4
Substituindo
,
e
na EDO
, temos:
Simplificando:
Passo 5
Observando que
é solução da EDO original, sabemos que
. Portanto, o termo que multiplica
desaparece, restando:
Passo 6
Dividindo toda a equação por
:
Para simplificar, definimos
, então
. A equação se torna:
Passo 7
Esta é uma equação diferencial linear para
. Podemos escrevê-la na forma padrão:
onde
.
Passo 8
Agora, precisamos calcular
. Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
Assim, a equação para
fica:
Passo 10
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução geral é dada por:
onde
é uma constante de integração.
Passo 11
Agora, lembrando que
, integramos
para encontrar
:
onde
é outra constante de integração. Podemos absorver
na constante
, pois estamos procurando apenas uma solução particular. Então, temos:
Passo 12
Finalmente, a segunda solução
é dada por:
Sem perda de generalidade, podemos pegar
, então:
Resposta
A segunda solução da EDO é
. Para verificar, substituindo
na equação original, confirma-se que
satisfaz a EDO
.