Aplicando redução de ordem encontre uma segunda solução da EDO e verifique a validade desta solução
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: Precisamos encontrar uma segunda solução para a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por , sabendo que já temos uma solução . Para resolver isso, vamos utilizar o método de redução de ordem, que nos ajuda a encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução da EDO homogênea.
Passo 2
Primeiro, entendamos que a EDO dada é linear e de segunda ordem. O método de redução de ordem consiste em assumir que a segunda solução pode ser escrita como , onde é uma função que precisamos determinar. Isso simplifica a equação, permitindo que encontremos .
Passo 3
Vamos substituir na EDO original. Para isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de :
Passo 4
Substituindo , e na EDO , temos:
Simplificando:
Passo 5
Observando que é solução da EDO original, sabemos que . Portanto, o termo que multiplica desaparece, restando:
Passo 6
Dividindo toda a equação por :
Para simplificar, definimos , então . A equação se torna:
Passo 7
Esta é uma equação diferencial linear para . Podemos escrevê-la na forma padrão:
onde .
Passo 8
Agora, precisamos calcular . Sabemos que , então:
Portanto:
Passo 9
Substituindo na expressão de :
Assim, a equação para fica:
Passo 10
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução geral é dada por:
onde é uma constante de integração.
Passo 11
Agora, lembrando que , integramos para encontrar :
onde é outra constante de integração. Podemos absorver na constante , pois estamos procurando apenas uma solução particular. Então, temos:
Passo 12
Finalmente, a segunda solução é dada por:
Sem perda de generalidade, podemos pegar , então:
Resposta
A segunda solução da EDO é . Para verificar, substituindo na equação original, confirma-se que satisfaz a EDO .