Aplicando redução de ordem encontre uma segunda solução da EDO e verifique a validade desta solução

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Precisamos encontrar uma segunda solução para a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por , sabendo que já temos uma solução . Para resolver isso, vamos utilizar o método de redução de ordem, que nos ajuda a encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução da EDO homogênea.

Passo 2

Primeiro, entendamos que a EDO dada é linear e de segunda ordem. O método de redução de ordem consiste em assumir que a segunda solução pode ser escrita como , onde é uma função que precisamos determinar. Isso simplifica a equação, permitindo que encontremos .

Passo 3

Vamos substituir na EDO original. Para isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de :

Passo 4

Substituindo , e na EDO , temos:
Simplificando:

Passo 5

Observando que é solução da EDO original, sabemos que . Portanto, o termo que multiplica desaparece, restando:

Passo 6

Dividindo toda a equação por :
Para simplificar, definimos , então . A equação se torna:

Passo 7

Esta é uma equação diferencial linear para . Podemos escrevê-la na forma padrão:
onde .

Passo 8

Agora, precisamos calcular . Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 9

Substituindo na expressão de :
Assim, a equação para fica:

Passo 10

Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução geral é dada por:
onde é uma constante de integração.

Passo 11

Agora, lembrando que , integramos para encontrar :
onde é outra constante de integração. Podemos absorver na constante , pois estamos procurando apenas uma solução particular. Então, temos:

Passo 12

Finalmente, a segunda solução é dada por:
Sem perda de generalidade, podemos pegar , então:

Resposta

A segunda solução da EDO é . Para verificar, substituindo na equação original, confirma-se que satisfaz a EDO .

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Escreva a forma geral das equações de Euler; (0.5pt)
Ache a solução geral das EDOs
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