Considere a equação diferencial linear de segunda ordem, não homogênea, com coeficientes constantes,
Na unidade anterior vimos que a solução geral da homogênea associada é , onde as funções dependem das raízes do polinômio característico . A função dada pelo determinante
denomina-se wronskiano de .
a) Mostre que para todo ;
b) Mostre que qualquer soluçao particular da equaçao acima tem a forma

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. A gente tem uma equação diferencial linear de segunda ordem, que não é homogênea, com coeficientes constantes. A equação é:
A gente precisa resolver duas partes:
a) Mostrar que o wronskiano nunca é zero para todo real.
b) Demonstrar que qualquer solução particular dessa equação tem uma forma específica envolvendo integrais.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre soluções da equação homogênea associada, o wronskiano e o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a). O wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a verificar se duas soluções são linearmente independentes. Se o wronskiano não for zero em nenhum ponto, significa que as soluções são de fato independentes, o que é essencial para construir a solução geral.
A equação homogênea associada é:
As soluções gerais dessa equação são , onde e são as soluções base dependentes das raízes do polinômio característico .

Passo 3

O wronskiano é definido como:
Para mostrar que para todo , precisamos verificar se as soluções e são realmente independentes.
Quando o polinômio característico tem raízes distintas, as soluções e são exponenciais diferentes, garantindo que são independentes. Mesmo se as raízes forem complexas, e serão combinações lineares envolvendo seno e cosseno, o que também mantém a independência.

Passo 4

Vamos formalizar isso. Se , isso implicaria que e são linearmente dependentes, o que não acontece porque construímos e a partir de raízes distintas ou complexas do polinômio característico.
Além disso, como os coeficientes e são constantes, o wronskiano também permanece constante ao longo do tempo, o que reforça que ele nunca é zero.

Passo 5

Então, concluímos a parte a), que o wronskiano nunca é zero para qualquer .
Agora, vamos para a parte b), onde precisamos encontrar a forma de uma solução particular .

Passo 6

Para encontrar uma solução particular, usamos o método de variação de parâmetros. Esse método assume que as constantes e na solução homogênea se tornam funções de , ou seja, e .
Substituindo na equação diferencial e resolvendo para e , chegamos à expressão que envolve integrais e o wronskiano.

Passo 7

O resultado final do método de variação de parâmetros nos dá a solução particular na forma:
Essa expressão utiliza o wronskiano e as funções e para construir a solução particular à não homogênea.

Resposta

a) Para todo , o wronskiano é diferente de zero, ou seja, .
b) Qualquer solução particular da equação diferencial dada tem a forma:

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