Ache a solução geral das EDOs
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Aqui, estamos lidando com uma EDO de segunda ordem e homogênea. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria das equações características e resolver uma equação quadrática associada.
Passo 2
Primeiro, a gente vai associar a EDO a uma equação característica. Isso significa que substituímos
por
, onde
é um número que a gente precisa encontrar. Fazendo isso, as derivadas ficam:
Substituindo na EDO:
Como
nunca é zero, podemos simplificar para obter a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é negativo (
), as raízes serão complexas conjugadas.
Passo 4
Com
, as raízes são da forma:
Onde:
Então, as raízes são:
Passo 5
Quando temos raízes complexas
, a solução geral da EDO é dada por:
Substituindo
e
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Sejam
deriváveis em
. Prove que se
e
forem linearmente dependente, então o wronskiano de
será identicamente nulo em
.
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