Ache a solução geral das EDOs

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Aqui, estamos lidando com uma EDO de segunda ordem e homogênea. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria das equações características e resolver uma equação quadrática associada.

Passo 2

Primeiro, a gente vai associar a EDO a uma equação característica. Isso significa que substituímos por , onde é um número que a gente precisa encontrar. Fazendo isso, as derivadas ficam:
Substituindo na EDO:
Como nunca é zero, podemos simplificar para obter a equação característica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo ( ), as raízes serão complexas conjugadas.

Passo 4

Com , as raízes são da forma:
Onde:
Então, as raízes são:

Passo 5

Quando temos raízes complexas , a solução geral da EDO é dada por:
Substituindo e :

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Sejam deriváveis em . Prove que se e forem linearmente dependente, então o wronskiano de será identicamente nulo em .
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