Ache a solução geral das EDOs

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem: . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre EDOs lineares com coeficientes constantes. Para encontrar a solução geral, vamos precisar montar e resolver a equação característica.

Passo 2

Primeiro, precisamos transformar a EDO em uma equação característica. Isso é feito substituindo por , por e por 1. Assim, a equação vira:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . A equação é . Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo esses valores:

Passo 4

Percebemos que a raiz quadrada de um número negativo nos dá números complexos. Então, , onde é a unidade imaginária. Assim, os valores de ficam:

Passo 5

Como os valores de são complexos, a solução geral da equação diferencial será uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas. A fórmula geral para soluções com raízes complexas é:
Aqui, e .

Resposta

Portanto, a solução geral da EDO é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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