Ache a solução geral das EDOs
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre EDOs lineares com coeficientes constantes. Para encontrar a solução geral, vamos precisar montar e resolver a equação característica.
Passo 2
Primeiro, precisamos transformar a EDO em uma equação característica. Isso é feito substituindo
por
,
por
e
por 1. Assim, a equação
vira:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. A equação é
. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo esses valores:
Passo 4
Percebemos que a raiz quadrada de um número negativo nos dá números complexos. Então,
, onde
é a unidade imaginária. Assim, os valores de
ficam:
Passo 5
Como os valores de
são complexos, a solução geral da equação diferencial será uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas. A fórmula geral para soluções com raízes complexas
é:
Aqui,
e
.
Resposta
Portanto, a solução geral da EDO
é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Use exemplos para mostrar que as afirmações a seguir são falsas. Se
e
então
Use exemplos para mostrar que as afirmações a seguir são falsas. Se
e
não existem então
não existe
Considere as curvas definidas pelas parametrizações abaixo:
e
.
© Em qual ponto do plano se inicia o movimento da formiguinha 1? E da formiguinha 2?
© Em qual ponto do plano se inicia o movimento da formiguinha 1? E da formiguinha 2?
Prove que se
converge, então para cada
.