Use exemplos para mostrar que as afirmações a seguir são falsas. Se e não existem então não existe

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação a ser analisada é: *"Se e não existem, então não existe."* Essa afirmação faz parte do estudo dos **limites de funções** na matemática, especificamente sobre como os limites se comportam quando somamos duas funções cujo limite não existe individualmente. Para mostrar que essa afirmação é falsa, vamos precisar de exemplos concretos de funções onde os limites de e não existem, mas o limite da soma existe.

Passo 2

Vamos pensar em funções simples onde os limites individuais não existem, mas a soma delas tem um limite definido. Um bom exemplo envolve funções oscilatórias que se cancelam quando somadas. Considere as funções:

Passo 3

Vamos analisar os limites individuais de e conforme se aproxima de . Para : À medida que se aproxima de , cresce sem limites, fazendo com que o argumento do seno oscile cada vez mais rapidamente entre -1 e 1. Portanto, não existe porque a função não se aproxima de nenhum valor específico. Similarmente, para : A situação é a mesma, apenas invertida. O limite também não existe pelas mesmas razões.

Passo 4

Agora, vamos considerar a soma das duas funções:

Passo 5

Observamos que, independentemente do valor de (diferente de ), a soma é sempre igual a zero. Portanto, o limite da soma conforme se aproxima de é:

Resposta

Assim, apresentamos um exemplo onde e não existem, mas existe e é igual a 0. Portanto, a afirmação original é falsa.

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