Use exemplos para mostrar que as afirmações a seguir são falsas. Se lim x a f(x) e lim x a g(x) não existem então lim x a f(x)+lim x a g(x) não existe

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação a ser analisada é:
“Se lim x a f(x) e lim x a g(x) não existem, então lim x a [f(x)+g(x)] não existe.”
Essa afirmação faz parte do estudo dos limites de funções na matemática, especificamente sobre como os limites se comportam quando somamos duas funções cujo limite não existe individualmente. Para mostrar que essa afirmação é falsa, vamos precisar de exemplos concretos de funções onde os limites de f(x) e g(x) não existem, mas o limite da soma f(x) + g(x) existe.

Passo 2

Vamos pensar em funções simples onde os limites individuais não existem, mas a soma delas tem um limite definido. Um bom exemplo envolve funções oscilatórias que se cancelam quando somadas.
Considere as funções:
f(x) = sin(1x - a)
g(x) = -sin(1x - a)

Passo 3

Vamos analisar os limites individuais de f(x) e g(x) conforme x se aproxima de a.
Para f(x) = sin(1x - a):
À medida que x se aproxima de a, 1x - a cresce sem limites, fazendo com que o argumento do seno oscile cada vez mais rapidamente entre -1 e 1. Portanto, lim x a f(x) não existe porque a função não se aproxima de nenhum valor específico.
Similarmente, para g(x) = -sin(1x - a):
A situação é a mesma, apenas invertida. O limite lim x a g(x) também não existe pelas mesmas razões.

Passo 4

Agora, vamos considerar a soma das duas funções:
f(x) + g(x) = sin(1x - a) - sin(1x - a) = 0

Passo 5

Observamos que, independentemente do valor de x (diferente de a), a soma f(x) + g(x) é sempre igual a zero. Portanto, o limite da soma conforme x se aproxima de a é:
lim x a [f(x) + g(x)] = lim x a 0 = 0

Resposta

Assim, apresentamos um exemplo onde lim x a f(x) e lim x a g(x) não existem, mas lim x a [f(x) + g(x)] existe e é igual a 0. Portanto, a afirmação original é falsa.

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