Use exemplos para mostrar que as afirmações a seguir são falsas. Se
e
não existem então
não existe
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação a ser analisada é:
“Se
e
não existem, então
não existe.”
Essa afirmação faz parte do estudo dos limites de funções na matemática, especificamente sobre como os limites se comportam quando somamos duas funções cujo limite não existe individualmente. Para mostrar que essa afirmação é falsa, vamos precisar de exemplos concretos de funções onde os limites de
e
não existem, mas o limite da soma
existe.
Passo 2
Vamos pensar em funções simples onde os limites individuais não existem, mas a soma delas tem um limite definido. Um bom exemplo envolve funções oscilatórias que se cancelam quando somadas.
Considere as funções:
Passo 3
Vamos analisar os limites individuais de
e
conforme
se aproxima de
.
Para
:
À medida que se aproxima de
,
cresce sem limites, fazendo com que o argumento do seno oscile cada vez mais rapidamente entre -1 e 1. Portanto,
não existe porque a função não se aproxima de nenhum valor específico.
À medida que
Similarmente, para
:
A situação é a mesma, apenas invertida. O limite também não existe pelas mesmas razões.
A situação é a mesma, apenas invertida. O limite
Passo 4
Agora, vamos considerar a soma das duas funções:
Passo 5
Observamos que, independentemente do valor de
(diferente de
), a soma
é sempre igual a zero. Portanto, o limite da soma conforme
se aproxima de
é:
Resposta
Assim, apresentamos um exemplo onde
e
não existem, mas
existe e é igual a 0. Portanto, a afirmação original é falsa.