Prove que se
converge, então para cada
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência
que converge, ou seja, ela se aproxima de um certo valor conforme
cresce. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre limites de sequências e propriedades de sequências convergentes. Para resolver, vamos precisar saber o que significa uma sequência convergir e como manipular limites.
Passo 2
Como a sequência
converge, existe um número
tal que:
Isso significa que, conforme
aumenta, os termos
ficam cada vez mais próximos de
.
Passo 3
Agora, queremos provar que para qualquer número natural
, a diferença
tende a zero quando
tende ao infinito. Ou seja:
Passo 4
Vamos usar a propriedade dos limites que diz que o limite da diferença é a diferença dos limites, desde que ambos existam. Já sabemos que:
e
Passo 5
Aplicando a propriedade mencionada:
Resposta
Portanto, mostramos que
quando
converge.