Prove que se (xn) converge, então para cada p in N, lim n infty(xn+p-xn)=0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência que converge, ou seja, ela se aproxima de um certo valor conforme cresce. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre limites de sequências e propriedades de sequências convergentes. Para resolver, vamos precisar saber o que significa uma sequência convergir e como manipular limites.

Passo 2

Como a sequência limn to infty xn = L converge, existe um número tal que:
Isso significa que, conforme aumenta, os termos ficam cada vez mais próximos de .

Passo 3

Agora, queremos provar que para qualquer número natural limn to infty (xn+p - xn) = 0 , a diferença tende a zero quando tende ao infinito. Ou seja:

Passo 4

Vamos usar a propriedade dos limites que diz que o limite da diferença é a diferença dos limites, desde que ambos existam. Já sabemos que:
limn to infty xn+p = L
e
limn to infty xn = L

Passo 5

Aplicando a propriedade mencionada:
limn to infty (xn+p - xn) = limn to infty xn+p - limn to infty xn = L - L = 0

Resposta

Portanto, mostramos que quando converge.

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