Ache a solução geral da equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
. Isso significa que queremos descobrir uma função
cuja derivada em relação a
seja igual a
. Para resolver isso, vamos usar o processo de integração, que é basicamente o inverso da diferenciação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que a derivada de
em relação a
(
) seja igual a
:
Nossa meta é encontrar
, então vamos integrar ambos os lados dessa equação em relação a
.
Passo 3
Integrando o lado esquerdo, temos:
Aqui,
é a constante de integração, que aparece porque a integral indefinida inclui todas as possíveis funções antiderivadas, diferindo apenas por uma constante.
Passo 4
Agora, vamos integrar o lado direito:
Expliquei cada parte:
- A integral de
em relação a é porque aplicamos a regra da potência: . - A integral de
em relação a é porque a integral de uma constante é .
Passo 5
Juntando tudo, temos que:
Podemos simplificar isso removendo a constante
dos dois lados, já que elas representam qualquer constante qualquer.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real qualquer.
Exercícios relacionados
Classifique as funções a seguir em um dos tipos estudados (função polinomial, potência, racional, trigonométrica, exponencial ou logarítmica).
Parametrize as curvas abaixo e faça um esboço das respectivas curvas.
;
Exercício 2. Use a propriedade de linearidade e a tabela para encontrar a Transformada de Laplace das seguintes funções
e
são constantes):
©
©
Exercício 2. Use a propriedade de linearidade e a tabela para encontrar a Transformada de Laplace das seguintes funções
e
são constantes):
(f) (Sugestão: utilize a fórmula
trigonométrica
(f)
trigonométrica