Ache a solução geral da equação diferencial
d y/d x = 4 x - 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial . Isso significa que queremos descobrir uma função y(x) cuja derivada em relação a x seja igual a . Para resolver isso, vamos usar o processo de integração, que é basicamente o inverso da diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que a derivada de y em relação a x ( ) seja igual a :
y(x)
Nossa meta é encontrar x, então vamos integrar ambos os lados dessa equação em relação a .

Passo 3

Integrando o lado esquerdo, temos:
Aqui, C é a constante de integração, que aparece porque a integral indefinida inclui todas as possíveis funções antiderivadas, diferindo apenas por uma constante.

Passo 4

Agora, vamos integrar o lado direito:
Expliquei cada parte:
  • A integral de em relação a x é porque aplicamos a regra da potência: .
  • A integral de em relação a x é porque a integral de uma constante a é .

Passo 5

Juntando tudo, temos que:
Podemos simplificar isso removendo a constante C dos dois lados, já que elas representam qualquer constante qualquer.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde C é uma constante real qualquer.

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