Ache a solução geral da equação diferencial

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial . Isso significa que queremos descobrir uma função cuja derivada em relação a seja igual a . Para resolver isso, vamos usar o processo de integração, que é basicamente o inverso da diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que a derivada de em relação a ( ) seja igual a :
Nossa meta é encontrar , então vamos integrar ambos os lados dessa equação em relação a .

Passo 3

Integrando o lado esquerdo, temos:
Aqui, é a constante de integração, que aparece porque a integral indefinida inclui todas as possíveis funções antiderivadas, diferindo apenas por uma constante.

Passo 4

Agora, vamos integrar o lado direito:
Expliquei cada parte:
  • A integral de em relação a é porque aplicamos a regra da potência: .
  • A integral de em relação a é porque a integral de uma constante é .

Passo 5

Juntando tudo, temos que:
Podemos simplificar isso removendo a constante dos dois lados, já que elas representam qualquer constante qualquer.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real qualquer.

Exercícios relacionados

Classifique as funções a seguir em um dos tipos estudados (função polinomial, potência, racional, trigonométrica, exponencial ou logarítmica).
Parametrize as curvas abaixo e faça um esboço das respectivas curvas.
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Exercício 2. Use a propriedade de linearidade e a tabela para encontrar a Transformada de Laplace das seguintes funções e são constantes):
©
Exercício 2. Use a propriedade de linearidade e a tabela para encontrar a Transformada de Laplace das seguintes funções e são constantes):
(f) (Sugestão: utilize a fórmula
trigonométrica