Parametrize as curvas abaixo e faça um esboço das respectivas curvas.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para parametrizar a curva definida por
e fazer um esboço dessa curva. Isso envolve usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre como representar curvas usando parâmetros. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa parametrizar uma curva e como transformar a equação dada em uma forma paramétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação
de uma forma mais familiar. Se rearranjarmos os termos, temos:
Essa é a equação de um círculo com centro na origem (0,0) e raio 2. Saber isso já nos dá uma pista de como parametrizar a curva.
Passo 3
Para parametrizar um círculo, usamos as funções seno e cosseno, que nos permitem representar as coordenadas
e
em termos de um parâmetro, geralmente
, que representa o ângulo no círculo. A forma paramétrica padrão para um círculo de raio
é:
No nosso caso, o raio
é 2. Então, substituindo o valor de
, temos:
Passo 4
Agora que temos as expressões paramétricas para
e
, podemos dizer que a curva
é parametrizada por:
onde
varia de
a
para cobrir todo o círculo.
Passo 5
Para fazer um esboço da curva, basta plotar os pontos
para diferentes valores de
no intervalo de
a
. Como sabemos que é um círculo com raio 2 e centro na origem, o esboço será um círculo perfeito centrado em (0,0) com raio de 2 unidades.
Resposta
A parametrização da curva
é:
onde
varia de
a
. O esboço da curva é um círculo de raio 2 centrado na origem.
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Encontre no plano cartesiano os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre as coordenadas cartesianas dos pontos.
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Calcule a área da região limitada pela elipse
, em que
e
.
Classifique as funções a seguir em um dos tipos estudados (função polinomial, potência, racional, trigonométrica, exponencial ou logarítmica).
Ache a solução geral da equação diferencial