Exercício 2. Use a propriedade de linearidade e a tabela para encontrar a Transformada de Laplace das seguintes funções
e
são constantes):
(f)
(Sugestão: utilize a fórmula
trigonométrica
(f)
trigonométrica
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a Transformada de Laplace da função
. A gente vai usar a propriedade de linearidade da Transformada de Laplace e também uma tabela de transformadas que já tem as fórmulas prontas. Além disso, a sugestão é utilizar a identidade trigonométrica
para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica indicada para reescrever
. Assim, temos:
Isso ajuda a simplificar a função para aplicar a Transformada de Laplace mais facilmente.
Passo 3
Agora, vamos distribuir o
na expressão:
Dessa forma, a função está separada em duas partes: uma constante e uma função cosseno.
Passo 4
A Transformada de Laplace é linear, o que significa que podemos transformar cada termo separadamente. Então,
Vamos calcular cada transformada individualmente.
Passo 5
Para a constante
, a Transformada de Laplace é:
Para
, usamos a tabela de transformadas que diz que
. Substituindo
por 2:
Passo 6
Agora, somamos as duas transformadas que encontramos:
Podemos colocar em evidência o denominador comum:
Resposta
A Transformada de Laplace de
é:
Exercícios relacionados
Exercício 2. Use a propriedade de linearidade e a tabela para encontrar a Transformada de Laplace das seguintes funções
e
são constantes):
©
©
Ache a solução geral da equação diferencial
Exercício 4. Utilizando que a transformada de Laplace
é linear, prove que a transformada inversa
também é um operador linear. Em outras palavras, justifique que é válida a igualdade:
, para quaisquer
constantes e
funções de
.
Exercício 5. Use a tabela para encontrar a Transformada Inversa das funções
abaixo:
©
©