Exercício 2. Use a propriedade de linearidade e a tabela para encontrar a Transformada de Laplace das seguintes funções a, b, omega e theta são constantes):
(f) cos^2(t) (Sugestão: utilize a fórmula
trigonométrica cos^2(t) = (1 + cos(2t)) / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a Transformada de Laplace da função . A gente vai usar a propriedade de linearidade da Transformada de Laplace e também uma tabela de transformadas que já tem as fórmulas prontas. Além disso, a sugestão é utilizar a identidade trigonométrica para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica indicada para reescrever . Assim, temos:
Isso ajuda a simplificar a função para aplicar a Transformada de Laplace mais facilmente.

Passo 3

Agora, vamos distribuir o 1/2 na expressão:
Dessa forma, a função está separada em duas partes: uma constante e uma função cosseno.

Passo 4

A Transformada de Laplace é linear, o que significa que podemos transformar cada termo separadamente. Então,
Vamos calcular cada transformada individualmente.

Passo 5

Para a constante 1/2, a Transformada de Laplace é:
Para , usamos a tabela de transformadas que diz que . Substituindo omega por 2:

Passo 6

Agora, somamos as duas transformadas que encontramos:
Podemos colocar em evidência o denominador comum:

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

Exercícios relacionados