Ache a solução geral da equação diferencial dada, em série de potências centradas em 0 .
29a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a solução geral da equação diferencial usando uma série de potências centrada em 0. Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais ordinárias e séries de potências. Para resolver, vamos supor que a solução pode ser expressa como uma série de potências e determinar os coeficientes dessa série que satisfazem a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas primeira e segunda de :

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial :

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para termos semelhantes. Começamos mudando a variável de soma na segunda e terceira parcelas para que todas as séries tenham :
Para a primeira soma:
Para a segunda soma:
Mas para alinharmos com a primeira soma, deixamos como .
A terceira soma já está com :

Passo 6

Agora, montamos a equação combinando todas as somas:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:
Simplificando:

Passo 7

Agora, temos uma relação de recorrência para os coeficientes:
Vamos resolver essa relação para encontrar uma expressão geral para .

Passo 8

Observando a relação, vemos que os coeficientes de índices de mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares) não estão ligados diretamente, então vamos considerar dois casos:
  1. Para par ( ):
    Repetindo o processo, encontramos que:
    onde é o fatorial duplo.
  2. Para ímpar ( ):
    De maneira similar, obtemos:
    onde .

Passo 9

Juntando as duas soluções, a solução geral da equação diferencial é a soma das séries de potências para os termos pares e ímpares:

Resposta

A solução geral da equação diferencial em série de potências centradas em 0 é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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25a)
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20a) .
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8.