Ache a solução geral da equação diferencial dada, em série de potências centradas em 0 .
29a)
29a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a solução geral da equação diferencial
usando uma série de potências centrada em 0. Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais ordinárias e séries de potências. Para resolver, vamos supor que a solução
pode ser expressa como uma série de potências e determinar os coeficientes dessa série que satisfazem a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas primeira e segunda de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial
:
Passo 5
Vamos ajustar os índices das somas para termos semelhantes. Começamos mudando a variável de soma na segunda e terceira parcelas para que todas as séries tenham
:
Para a primeira soma:
Para a segunda soma:
Mas para alinharmos com a primeira soma, deixamos como
.
A terceira soma já está com
:
Passo 6
Agora, montamos a equação combinando todas as somas:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero:
Simplificando:
Passo 7
Agora, temos uma relação de recorrência para os coeficientes:
Vamos resolver essa relação para encontrar uma expressão geral para
.
Passo 8
Observando a relação, vemos que os coeficientes de índices de mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares) não estão ligados diretamente, então vamos considerar dois casos:
-
Para
par ( ): Repetindo o processo, encontramos que:ondeé o fatorial duplo. -
Para
ímpar ( ): De maneira similar, obtemos:onde.
Passo 9
Juntando as duas soluções, a solução geral da equação diferencial é a soma das séries de potências para os termos pares e ímpares:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
em série de potências centradas em 0 é:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Princípio de Superposição. Se
e
são soluções de
e de
respetivamente, mostre que
é solução de
. Use este fato para resolver as seguintes equações diferenciais:
25a)
25a)
Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
20a) .
O que acontece com a solução com condições iniciais e
?
20a)
O que acontece com a solução com condições iniciais
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
8.
8.