Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente calcular a integral indefinida de
. Isso pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente integração por substituição. Vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Olhando para a expressão
dentro da raiz, uma boa ideia é deixar
. Isso vai simplificar a raiz e facilitar a integração.
Passo 3
Com a substituição
, precisamos encontrar
em termos de
. Calculando a derivada de
em relação a
:
Perceba que
já está presente na nossa integral original, o que é perfeito para a substituição.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
A integral ficou mais simples: agora temos
, que é fácil de integrar.
Passo 5
Vamos integrar
em relação a
. Lembrando que
, a integral de
é:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, voltamos à variável original
substituindo
:
Resposta
A integral
é igual a
.
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29a)
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e
são soluções de
e de
respetivamente, mostre que
é solução de
. Use este fato para resolver as seguintes equações diferenciais:
25a)
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8.
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8a)
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