Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral 2 y raiz1+y^2 d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente calcular a integral indefinida de . Isso pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente integração por substituição. Vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Olhando para a expressão dentro da raiz, uma boa ideia é deixar . Isso vai simplificar a raiz e facilitar a integração.

Passo 3

Com a substituição du = 2y, dy , precisamos encontrar em termos de . Calculando a derivada de em relação a :
Perceba que já está presente na nossa integral original, o que é perfeito para a substituição.

Passo 4

Agora, substituímos integral 2y raiz1 + y^2, dy = integral raizu, du e na integral original:
A integral ficou mais simples: agora temos , que é fácil de integrar.

Passo 5

Vamos integrar integral u^1/2, du = 23 u^3/2 + C em relação a . Lembrando que , a integral de é:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original 23 u^3/2 + C = 23 (1 + y^2)^3/2 + C substituindo :

Resposta

A integral é igual a .

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