Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
20a)
.
O que acontece com a solução com condições iniciais
e
?
20a)
O que acontece com a solução com condições iniciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
E as condições são
e
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e essas condições. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais e fazer algumas substituições para simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial. Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar
, ou seja,
é a derivada de
em relação a
. Com isso, a segunda derivada
fica
.
Substituindo na equação original:
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem em termos de
e
.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para isolar
. Dividindo ambos os lados por
:
Essa equação ainda é um pouco complicada, mas vamos tentar separá-la. Podemos reescrever como:
Passo 4
Agora, vamos tentar separar as variáveis
e
. Para isso, trazemos todos os termos envolvendo
para um lado e os termos envolvendo
para o outro:
No entanto, essa forma ainda não está totalmente separada. Para simplificar, podemos tentar uma substituição adicional.
Passo 5
Vamos fazer uma nova substituição para facilitar a integração. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo
da equação anterior:
Simplificando:
Mas como
, temos
. Então:
Isso nos leva a:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é:
E a do lado direito é:
Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 7
Vamos resolver para
:
Expandindo o lado esquerdo:
Simplificando:
Dividindo tudo por 4:
Essa é uma equação quadrática em
:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver
:
Mas para simplificar, vamos usar a condição inicial.
Passo 8
Voltando à condição inicial
, ou seja,
. Substituindo na equação:
Então,
.
Portanto, a equação fica:
Fatorando:
Então, temos duas soluções:
Passo 9
Analisando
, integramos com respeito a
:
Usando a condição
, temos
. Então, uma solução é
.
Agora, para
, integramos:
Usando
:
Então, a segunda solução é:
Resposta
A solução do problema com as condições iniciais
e
é:
Para as condições iniciais
e
, apenas a solução constante
satisfaz, já que a segunda solução não atende à condição
.