Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais: 20a) . O que acontece com a solução com condições iniciais e ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é: E as condições são e . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e essas condições. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais e fazer algumas substituições para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial. Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar , ou seja, é a derivada de em relação a . Com isso, a segunda derivada fica . Substituindo na equação original: Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem em termos de e .

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para isolar . Dividindo ambos os lados por : Essa equação ainda é um pouco complicada, mas vamos tentar separá-la. Podemos reescrever como:

Passo 4

Agora, vamos tentar separar as variáveis e . Para isso, trazemos todos os termos envolvendo para um lado e os termos envolvendo para o outro: No entanto, essa forma ainda não está totalmente separada. Para simplificar, podemos tentar uma substituição adicional.

Passo 5

Vamos fazer uma nova substituição para facilitar a integração. Seja . Então, a derivada de em relação a é: Substituindo da equação anterior: Simplificando: Mas como , temos . Então: Isso nos leva a:

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados: A integral do lado esquerdo é: E a do lado direito é: Então, temos: Multiplicando ambos os lados por 2: Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 7

Vamos resolver para : Expandindo o lado esquerdo: Simplificando: Dividindo tudo por 4: Essa é uma equação quadrática em : Usando a fórmula de Bhaskara para resolver : Mas para simplificar, vamos usar a condição inicial.

Passo 8

Voltando à condição inicial , ou seja, . Substituindo na equação: Então, . Portanto, a equação fica: Fatorando: Então, temos duas soluções: 1. 2.

Passo 9

Analisando , integramos com respeito a : Usando a condição , temos . Então, uma solução é . Agora, para , integramos: Usando : Então, a segunda solução é:

Resposta

A solução do problema com as condições iniciais e é: Para as condições iniciais e , apenas a solução constante satisfaz, já que a segunda solução não atende à condição .

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