Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
20a) (x^2 + 2y')y'' + 2xy' = 0 ; y'(1) = 0 ; y(1) = 1.
O que acontece com a solução com condições iniciais y'(0) = 0 e y(0) = 1 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
E as condições são e . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e essas condições. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais e fazer algumas substituições para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial. Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar , ou seja, é a derivada de em relação a . Com isso, a segunda derivada fica .
Substituindo na equação original:
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem em termos de e .

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para isolar . Dividindo ambos os lados por :
Essa equação ainda é um pouco complicada, mas vamos tentar separá-la. Podemos reescrever como:

Passo 4

Agora, vamos tentar separar as variáveis e . Para isso, trazemos todos os termos envolvendo para um lado e os termos envolvendo para o outro:
No entanto, essa forma ainda não está totalmente separada. Para simplificar, podemos tentar uma substituição adicional.

Passo 5

Vamos fazer uma nova substituição para facilitar a integração. Seja . Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo da equação anterior:
Simplificando:
Mas como , temos . Então:
Isso nos leva a:

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é:
E a do lado direito é:
Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 7

Vamos resolver para :
Expandindo o lado esquerdo:
Simplificando:
Dividindo tudo por 4:
Essa é uma equação quadrática em :
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver :
Mas para simplificar, vamos usar a condição inicial.

Passo 8

Voltando à condição inicial , ou seja, . Substituindo na equação:
Então, .
Portanto, a equação fica:
Fatorando:
Então, temos duas soluções:

Passo 9

Analisando , integramos com respeito a :
Usando a condição , temos . Então, uma solução é .
Agora, para , integramos:
Usando :
Então, a segunda solução é:

Resposta

A solução do problema com as condições iniciais e é:
Para as condições iniciais e , apenas a solução constante satisfaz, já que a segunda solução não atende à condição .

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