Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
20a) .
O que acontece com a solução com condições iniciais e ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
E as condições são e . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e essas condições. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais e fazer algumas substituições para simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial. Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar , ou seja, é a derivada de em relação a . Com isso, a segunda derivada fica .
Substituindo na equação original:
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem em termos de e .
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para isolar . Dividindo ambos os lados por :
Essa equação ainda é um pouco complicada, mas vamos tentar separá-la. Podemos reescrever como:
Passo 4
Agora, vamos tentar separar as variáveis e . Para isso, trazemos todos os termos envolvendo para um lado e os termos envolvendo para o outro:
No entanto, essa forma ainda não está totalmente separada. Para simplificar, podemos tentar uma substituição adicional.
Passo 5
Vamos fazer uma nova substituição para facilitar a integração. Seja . Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo da equação anterior:
Simplificando:
Mas como , temos . Então:
Isso nos leva a:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é:
E a do lado direito é:
Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Lembrando que , substituímos de volta:
Passo 7
Vamos resolver para :
Expandindo o lado esquerdo:
Simplificando:
Dividindo tudo por 4:
Essa é uma equação quadrática em :
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver :
Mas para simplificar, vamos usar a condição inicial.
Passo 8
Voltando à condição inicial , ou seja, . Substituindo na equação:
Então, .
Portanto, a equação fica:
Fatorando:
Então, temos duas soluções:
1.
2.
Passo 9
Analisando , integramos com respeito a :
Usando a condição , temos . Então, uma solução é .
Agora, para , integramos:
Usando :
Então, a segunda solução é:
Resposta
A solução do problema com as condições iniciais e é:
Para as condições iniciais e , apenas a solução constante satisfaz, já que a segunda solução não atende à condição .
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25a)
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29a)