Princípio de Superposição. Se
e
são soluções de
e de
respetivamente, mostre que
é solução de
. Use este fato para resolver as seguintes equações diferenciais:
25a)
25a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial do tipo
. Isso faz parte do estudo de Equações Lineares de Segunda Ordem. O que precisamos entender aqui é o Princípio de Superposição, que nos permite quebrar a equação em partes menores, resolver cada uma separadamente e depois juntar as soluções. Basicamente, vamos achar soluções para
e
individualmente e somar tudo no final.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação para o termo
:
Aqui, buscamos uma solução particular (
) dessa equação. Como o lado direito é
, tentamos uma solução do tipo:
Onde
é uma constante que vamos determinar. Vamos derivar
:
Substituindo na equação original:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para
é:
Passo 3
Agora, vamos resolver para o termo
:
Novamente, procuramos uma solução particular do tipo:
Derivando:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para
é:
Passo 4
Agora, aplicando o Princípio de Superposição, que nos permite somar as soluções particulares encontradas. Assim, a solução particular geral (
) da equação original é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Exercícios relacionados
Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
20a) .
O que acontece com a solução com condições iniciais e
?
20a)
O que acontece com a solução com condições iniciais
Calcule os seguintes limites:
Ache a solução geral da equação diferencial dada, em série de potências centradas em 0 .
29a)
29a)
Calcule as seguintes integrais indefinidas: