Princípio de Superposição. Se e são soluções de e de respetivamente, mostre que é solução de . Use este fato para resolver as seguintes equações diferenciais:
25a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial do tipo . Isso faz parte do estudo de Equações Lineares de Segunda Ordem. O que precisamos entender aqui é o Princípio de Superposição, que nos permite quebrar a equação em partes menores, resolver cada uma separadamente e depois juntar as soluções. Basicamente, vamos achar soluções para e individualmente e somar tudo no final.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação para o termo :
Aqui, buscamos uma solução particular ( ) dessa equação. Como o lado direito é , tentamos uma solução do tipo:
Onde é uma constante que vamos determinar. Vamos derivar :
Substituindo na equação original:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para é:

Passo 3

Agora, vamos resolver para o termo :
Novamente, procuramos uma solução particular do tipo:
Derivando:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para é:

Passo 4

Agora, aplicando o Princípio de Superposição, que nos permite somar as soluções particulares encontradas. Assim, a solução particular geral ( ) da equação original é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
20a) .
O que acontece com a solução com condições iniciais e ?
Calcule os seguintes limites:
Ache a solução geral da equação diferencial dada, em série de potências centradas em 0 .
29a)
Calcule as seguintes integrais indefinidas: