Princípio de Superposição. Se y1(x) e y2(x) são soluções de y'' + P(x) y' + Q(x) y = R1(x) e de y'' + P(x) y' + Q(x) y = R2(x) respetivamente, mostre que y(x) = y1(x) + y2(x) é solução de y'' + P(x) y' + Q(x) y = R1(x) + R2(x). Use este fato para resolver as seguintes equações diferenciais:
25a) y'' + 3y' + 2y = e^x + e^(2x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial do tipo . Isso faz parte do estudo de Equações Lineares de Segunda Ordem. O que precisamos entender aqui é o Princípio de Superposição, que nos permite quebrar a equação em partes menores, resolver cada uma separadamente e depois juntar as soluções. Basicamente, vamos achar soluções para e individualmente e somar tudo no final.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação para o termo :
Aqui, buscamos uma solução particular ( ) dessa equação. Como o lado direito é , tentamos uma solução do tipo:
Onde é uma constante que vamos determinar. Vamos derivar :
Substituindo na equação original:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para é:

Passo 3

Agora, vamos resolver para o termo :
Novamente, procuramos uma solução particular do tipo:
Derivando:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para é:

Passo 4

Agora, aplicando o Princípio de Superposição, que nos permite somar as soluções particulares encontradas. Assim, a solução particular geral ( ) da equação original é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados