Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da curva definida pela equação vetorial e indicar com setas a direção em que o parâmetro aumenta. Aqui, estamos lidando com curvas paramétricas, que são representadas por vetores onde cada componente depende de um parâmetro, nesse caso, . Para resolver, vamos entender como influencia cada coordenada e como isso afeta a forma da curva e sua direção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que as componentes e representam na nossa curva. A primeira componente, , vai definir a posição no eixo , enquanto a segunda componente, , define a posição no eixo . Isso significa que para cada valor de , temos um ponto na nossa curva.

Passo 3

Vamos agora analisar como e mudam à medida que varia. Vamos escolher alguns valores de para ver os pontos correspondentes:
  • Para : ,
  • Para : ,
  • Para : ,
  • Para : ,
  • Para : ,
Esses pontos vão nos ajudar a desenhar a curva.

Passo 4

Observando os pontos que calculamos, percebemos que quando aumenta de -2 para 2, o valor de vai de -8 até 8 e o valor de vai de 4 até 4, passando pelo ponto (0,0). Isso sugere que a curva começa no ponto (-8, 4), passa pelo ponto (0,0) e vai até (8, 4).

Passo 5

Vamos agora entender a direção da curva. Como está aumentando, vamos ver como os pontos se conectam:
  • De a , aumenta de -8 para 0 e diminui de 4 para 0.
  • De a , aumenta de 0 para 8 e aumenta de 0 para 4.
Isso indica que a curva desce de (-8,4) até (0,0) e depois sobe até (8,4). Usaremos setas para mostrar essa direção no esboço.

Passo 6

Para finalizar, vamos desenhar a curva com base nos pontos e na direção que identificamos:
  1. Ponto inicial em (-8, 4).
  2. Passa por ( -1, 1), (0,0), (1,1).
  3. Termina em (8, 4).
A curva terá a forma de uma parábola, simétrica em relação ao eixo e com a direção descendo para o ponto (0,0) e subindo depois.

Resposta

O gráfico da curva é uma parábola que passa pelos pontos (-8,4), (-1,1), (0,0), (1,1) e (8,4). A curva desce da esquerda para o ponto (0,0) e depois sobe da direita, com setas indicando o movimento de aumentando da esquerda para a direita.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Ache a solução geral da equação diferencial dada, em série de potências centradas em 0 .
29a)
Mostre que a substituição transforma a equação numa equação de variáveis separáveis. Aplique esse método para resolver as equações
8a)
Calcule as seguintes integrais indefinidas: