Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
8.
8.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da curva definida pela equação vetorial
e indicar com setas a direção em que o parâmetro
aumenta. Aqui, estamos lidando com curvas paramétricas, que são representadas por vetores onde cada componente depende de um parâmetro, nesse caso,
. Para resolver, vamos entender como
influencia cada coordenada e como isso afeta a forma da curva e sua direção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que as componentes
e
representam na nossa curva. A primeira componente,
, vai definir a posição no eixo
, enquanto a segunda componente,
, define a posição no eixo
. Isso significa que para cada valor de
, temos um ponto
na nossa curva.
Passo 3
Vamos agora analisar como
e
mudam à medida que
varia. Vamos escolher alguns valores de
para ver os pontos correspondentes:
- Para
: , - Para
: , - Para
: , - Para
: , - Para
: ,
Esses pontos vão nos ajudar a desenhar a curva.
Passo 4
Observando os pontos que calculamos, percebemos que quando
aumenta de -2 para 2, o valor de
vai de -8 até 8 e o valor de
vai de 4 até 4, passando pelo ponto (0,0). Isso sugere que a curva começa no ponto (-8, 4), passa pelo ponto (0,0) e vai até (8, 4).
Passo 5
Vamos agora entender a direção da curva. Como
está aumentando, vamos ver como os pontos se conectam:
- De
a , aumenta de -8 para 0 e diminui de 4 para 0. - De
a , aumenta de 0 para 8 e aumenta de 0 para 4.
Isso indica que a curva desce de (-8,4) até (0,0) e depois sobe até (8,4). Usaremos setas para mostrar essa direção no esboço.
Passo 6
Para finalizar, vamos desenhar a curva com base nos pontos e na direção que identificamos:
- Ponto inicial em (-8, 4).
- Passa por ( -1, 1), (0,0), (1,1).
- Termina em (8, 4).
A curva terá a forma de uma parábola, simétrica em relação ao eixo
e com a direção descendo para o ponto (0,0) e subindo depois.
Resposta
O gráfico da curva
é uma parábola que passa pelos pontos (-8,4), (-1,1), (0,0), (1,1) e (8,4). A curva desce da esquerda para o ponto (0,0) e depois sobe da direita, com setas indicando o movimento de
aumentando da esquerda para a direita.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Ache a solução geral da equação diferencial dada, em série de potências centradas em 0 .
29a)
29a)
Mostre que a substituição
transforma a equação
numa equação de variáveis separáveis. Aplique esse método para resolver as equações
8a)
8a)
Calcule as seguintes integrais indefinidas: