Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
8. r(t) = <t^3, t^2>

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da curva definida pela equação vetorial r(t) = <t^3, t^2> e indicar com setas a direção em que o parâmetro t aumenta. Aqui, estamos lidando com curvas paramétricas, que são representadas por vetores onde cada componente depende de um parâmetro, nesse caso, t. Para resolver, vamos entender como t influencia cada coordenada e como isso afeta a forma da curva e sua direção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que as componentes e representam na nossa curva. A primeira componente, , vai definir a posição no eixo x, enquanto a segunda componente, , define a posição no eixo y. Isso significa que para cada valor de t, temos um ponto na nossa curva.

Passo 3

Vamos agora analisar como x e y mudam à medida que t varia. Vamos escolher alguns valores de t para ver os pontos correspondentes:
  • Para : ,
  • Para : ,
  • Para : ,
  • Para : ,
  • Para : ,
Esses pontos vão nos ajudar a desenhar a curva.

Passo 4

Observando os pontos que calculamos, percebemos que quando t aumenta de -2 para 2, o valor de x vai de -8 até 8 e o valor de y vai de 4 até 4, passando pelo ponto (0,0). Isso sugere que a curva começa no ponto (-8, 4), passa pelo ponto (0,0) e vai até (8, 4).

Passo 5

Vamos agora entender a direção da curva. Como t está aumentando, vamos ver como os pontos se conectam:
  • De a , x aumenta de -8 para 0 e y diminui de 4 para 0.
  • De a , x aumenta de 0 para 8 e y aumenta de 0 para 4.
Isso indica que a curva desce de (-8,4) até (0,0) e depois sobe até (8,4). Usaremos setas para mostrar essa direção no esboço.

Passo 6

Para finalizar, vamos desenhar a curva com base nos pontos e na direção que identificamos:
  1. Ponto inicial em (-8, 4).
  2. Passa por ( -1, 1), (0,0), (1,1).
  3. Termina em (8, 4).
A curva terá a forma de uma parábola, simétrica em relação ao eixo y e com a direção descendo para o ponto (0,0) e subindo depois.

Resposta

O gráfico da curva r(t) = <t^3, t^2> é uma parábola que passa pelos pontos (-8,4), (-1,1), (0,0), (1,1) e (8,4). A curva desce da esquerda para o ponto (0,0) e depois sobe da direita, com setas indicando o movimento de t aumentando da esquerda para a direita.

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