Ache a solução geral das equações diferenciais abaixo pelo método do fator integrante
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
com a condição inicial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar uma solução geral para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os coeficientes da equação. A equação está na forma padrão
, onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é uma função que vai simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Portanto, a equação fica:
Passo 5
A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto
:
Isso porque a derivada do produto segue a regra
.
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Passo 8
Usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Encontre o Wronskiano de duas soluções da EDO dada:
Determine se a equação diferencial é exata. Se for, resolva-a (
.
Em cada caso, esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada, encontre
, e esboce o vetor posição
e o vetor tangente
para o valor dado de
.
a)
a)
O triedro de Frenet é um conjunto de três vetores ortogonais (tangente
, normal
e binormal B) que descrevem a geometria local de uma curva no espaço tridimensional e satisfazem as equações:
onde
é a curvatura e
é a torção da curva. Calcule a torção da função vetorial