Ache a solução geral das equações diferenciais abaixo pelo método do fator integrante 3.0 pt.
d y/d x + y = e^(2 x) ; y(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: com a condição inicial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar uma solução geral para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os coeficientes da equação. A equação está na forma padrão , onde e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é uma função que vai simplificar a equação. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:
Portanto, a equação fica:

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto :
Isso porque a derivada do produto segue a regra .

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para :

Passo 8

Usamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Resolvendo para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados