Encontre o Wronskiano de duas soluções da EDO dada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o Wronskiano de duas soluções da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada:
Estamos lidando com equações diferenciais de segunda ordem aqui. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o Wronskiano, que ajuda a verificar se duas soluções são linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a EDO na forma padrão. A forma padrão de uma EDO de segunda ordem é:
Para isso, vamos dividir todos os termos da EDO original por
:
Agora temos:
Passo 3
O próximo passo é usar a fórmula de Abel para encontrar o Wronskiano. A fórmula de Abel nos diz que:
onde
é uma constante.
Passo 4
Vamos calcular a integral de
:
Desconsideramos a constante de integração
porque ela será absorvida na constante
da fórmula de Abel.
Passo 5
Substituindo essa integral na fórmula de Abel:
Simplificando:
Resposta
O Wronskiano das duas soluções da EDO dada é:
onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Determine se a equação diferencial é exata. Se for, resolva-a (
.
Determinar os pontos em que a curva
corta o plano
.
Ache a solução geral das equações diferenciais abaixo pelo método do fator integrante
.
Em cada caso, esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada, encontre
, e esboce o vetor posição
e o vetor tangente
para o valor dado de
.
a)
a)