Determine se a equação diferencial é exata. Se for, resolva-a (
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e precisamos primeiro descobrir se ela é exata. Se for, a gente resolve. Pra isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais exatas, onde a gente verifica se certas condições são satisfeitas usando derivadas parciais. Precisamos identificar parte da equação como
e
e então comparar as derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para o formato padrão
. A equação que temos é:
Multiplicando ambos os lados por
, ficamos com:
Então, identificamos:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, a gente calcula as derivadas parciais
e
e vê se elas são iguais.
Primeiro, vamos achar
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Derivando termo a termo:
E para o segundo termo, usamos a regra da cadeia:
Então,
Passo 5
Comparando as duas derivadas parciais:
Vemos que
não é igual a
, então a equação não é exata.
Resposta
A equação diferencial não é exata.
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corta o plano
.
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definida por
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.