Determine se a equação diferencial é exata. Se for, resolva-a ( 1,5 pts.
(x^2 y^3 - 1/(1 + 9 x^2)) dy/dx = -x^3 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e precisamos primeiro descobrir se ela é exata. Se for, a gente resolve. Pra isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais exatas, onde a gente verifica se certas condições são satisfeitas usando derivadas parciais. Precisamos identificar parte da equação como e e então comparar as derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para o formato padrão . A equação que temos é:
Multiplicando ambos os lados por , ficamos com:
Então, identificamos:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, a gente calcula as derivadas parciais e e vê se elas são iguais.
Primeiro, vamos achar :

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Derivando termo a termo:
E para o segundo termo, usamos a regra da cadeia:
Então,

Passo 5

Comparando as duas derivadas parciais:
Vemos que não é igual a , então a equação não é exata.

Resposta

A equação diferencial não é exata.

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