O triedro de Frenet é um conjunto de três vetores ortogonais (tangente T, normal N e binormal B) que descrevem a geometria local de uma curva no espaço tridimensional e satisfazem as equações:
d Td s=kappa N, d Nd s=-kappa T+tau B e d Bd s=-tau N
onde kappa é a curvatura e tau=tau(s) é a torção da curva. Calcule a torção da função vetorial
gamma(t)=cos (d8 t) i+(d6+d8-1) t j+sen(d8 t) k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a torção da função vetorial .
O que é torção?
A torção ( ) mede o quanto uma curva está “girando” no espaço, ou seja, como ela se desvia do seu plano osculador. Para calcular isso, usaremos as derivadas da função vetorial .
O que vamos precisar?
Vamos precisar calcular as primeiras três derivadas de em relação a , fazer produtos vetoriais e escalares, e aplicar a fórmula da torção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de gamma'(t) = ddt[cos(d8 t)] i + ddt[(d6 + d8 - 1)t] j + ddt[sin(d8 t)] k em relação a gamma'(t) = -d8 sin(d8 t) i + (d6 + d8 - 1) j + d8 cos(d8 t) k , que é :
Calculando cada componente:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada gamma''(t) = ddt[gamma'(t)] = ddt[-d8 sin(d8 t)] i + ddt[(d6 + d8 - 1)] j + ddt[d8 cos(d8 t)] k :
gamma''(t) = -d8^2 cos(d8 t) i + 0 j - d8^2 sin(d8 t) k
Isso resulta em:

Passo 4

Vamos seguir com a terceira derivada gamma'''(t) = ddt[gamma''(t)] = ddt[-d8^2 cos(d8 t)] i + ddt[0] j + ddt[-d8^2 sin(d8 t)] k :
gamma'''(t) = d8^3 sin(d8 t) i + 0 j - d8^3 cos(d8 t) k
Calculando cada termo:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial gamma'(t) times gamma''(t) = i & j & k -d8 sin(d8 t) & (d6 + d8 - 1) & d8 cos(d8 t) -d8^2 cos(d8 t) & 0 & -d8^2 sin(d8 t) :
gamma'(t) times gamma''(t) = [ (d6 + d8 - 1)(-d8^2 sin(d8 t)) - d8 cos(d8 t)(0) ] i - [ -d8 sin(d8 t)(-d8^2 sin(d8 t)) - d8 cos(d8 t)(-d8^2 cos(d8 t)) ] j + [ -d8 sin(d8 t)(0) - (d6 + d8 - 1)(-d8^2 cos(d8 t)) ] k
Calculando o determinante:
gamma'(t) times gamma''(t) = -d8^2 (d6 + d8 - 1) sin(d8 t) i - [ d8^3 sin^2(d8 t) + d8^3 cos^2(d8 t) ] j + d8^2 (d6 + d8 - 1) cos(d8 t) k
Simplificando:
gamma'(t) times gamma''(t) = -d8^2 (d6 + d8 - 1) sin(d8 t) i - d8^3 j + d8^2 (d6 + d8 - 1) cos(d8 t) k
Usando a identidade :

Passo 6

Vamos calcular agora o produto escalar (gamma' times gamma'') cdot gamma''' = [ -d8^2 (d6 + d8 - 1) sin(d8 t) ] cdot d8^3 sin(d8 t) + [ -d8^3 ] cdot 0 + [ d8^2 (d6 + d8 - 1) cos(d8 t) ] cdot (-d8^3 cos(d8 t)) :
= -d8^5 (d6 + d8 - 1) sin^2(d8 t) - d8^5 (d6 + d8 - 1) cos^2(d8 t)
Simplificando:
= -d8^5 (d6 + d8 - 1) [sin^2(d8 t) + cos^2(d8 t)]
Factorizando:
= -d8^5 (d6 + d8 - 1)
Usando novamente a identidade trigonométrica:

Passo 7

Agora, vamos encontrar o magnitude ao quadrado do produto vetorial |gamma' times gamma''|^2 = [-d8^2 (d6 + d8 - 1) sin(d8 t)]^2 + [-d8^3]^2 + [d8^2 (d6 + d8 - 1) cos(d8 t)]^2 :
= d8^4 (d6 + d8 - 1)^2 sin^2(d8 t) + d8^6 + d8^4 (d6 + d8 - 1)^2 cos^2(d8 t)
Calculando cada termo:
= d8^4 (d6 + d8 - 1)^2 [sin^2(d8 t) + cos^2(d8 t)] + d8^6
Factorizando:
= d8^4 (d6 + d8 - 1)^2 + d8^6
Novamente, usando a identidade trigonométrica:
= d8^4 [(d6 + d8 - 1)^2 + d8^2]
Podemos fatorar :

Passo 8

Finalmente, vamos aplicar a fórmula da torção:
tau = (gamma' times gamma'') cdot gamma'''|gamma' times gamma''|^2
Substituindo os valores que encontramos:
tau = -d8^5 (d6 + d8 - 1) d8^4 [(d6 + d8 - 1)^2 + d8^2] = -d8 (d6 + d8 - 1) (d6 + d8 - 1)^2 + d8^2

Resposta

A torção da função vetorial tau = -d8 (d6 + d8 - 1) (d6 + d8 - 1)^2 + d8^2 é:

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