O triedro de Frenet é um conjunto de três vetores ortogonais (tangente , normal e binormal B) que descrevem a geometria local de uma curva no espaço tridimensional e satisfazem as equações:
onde é a curvatura e é a torção da curva. Calcule a torção da função vetorial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a torção da função vetorial .
O que é torção?
A torção () mede o quanto uma curva está “girando” no espaço, ou seja, como ela se desvia do seu plano osculador. Para calcular isso, usaremos as derivadas da função vetorial .
O que vamos precisar?
Vamos precisar calcular as primeiras três derivadas de em relação a , fazer produtos vetoriais e escalares, e aplicar a fórmula da torção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a , que é :
Calculando cada componente:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada:
Isso resulta em:
Passo 4
Vamos seguir com a terceira derivada:
Calculando cada termo:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto vetorial:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Usando a identidade :
Passo 6
Vamos calcular agora o produto escalar:
Simplificando:
Factorizando:
Usando novamente a identidade trigonométrica:
Passo 7
Agora, vamos encontrar o magnitude ao quadrado do produto vetorial :