O triedro de Frenet é um conjunto de três vetores ortogonais (tangente , normal e binormal B) que descrevem a geometria local de uma curva no espaço tridimensional e satisfazem as equações:
onde é a curvatura e é a torção da curva. Calcule a torção da função vetorial

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a torção da função vetorial .
O que é torção?
A torção ( ) mede o quanto uma curva está “girando” no espaço, ou seja, como ela se desvia do seu plano osculador. Para calcular isso, usaremos as derivadas da função vetorial .
O que vamos precisar?
Vamos precisar calcular as primeiras três derivadas de em relação a , fazer produtos vetoriais e escalares, e aplicar a fórmula da torção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a , que é :
Calculando cada componente:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada :
Isso resulta em:

Passo 4

Vamos seguir com a terceira derivada :
Calculando cada termo:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Simplificando:
Usando a identidade :

Passo 6

Vamos calcular agora o produto escalar :
Simplificando:
Factorizando:
Usando novamente a identidade trigonométrica:

Passo 7

Agora, vamos encontrar o magnitude ao quadrado do produto vetorial :
Calculando cada termo:
Factorizando:
Novamente, usando a identidade trigonométrica:
Podemos fatorar :

Passo 8

Finalmente, vamos aplicar a fórmula da torção:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A torção da função vetorial é:

Exercícios relacionados

Em cada caso, esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada, encontre , e esboce o vetor posição e o vetor tangente para o valor dado de .
a)
Ache a solução geral das equações diferenciais abaixo pelo método do fator integrante .
Determine a curvatura da curva dada por
para .
Encontre o domínio e a imagem das funções abaixo.