Em cada caso, esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada, encontre r'(t), e esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r'(t) para o valor dado de t.
a) r(t) = (t - 2, t^2 + 1), t = -1

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma curva plana definida por uma equação vetorial: . Nosso objetivo é:
  1. Esboçar o gráfico dessa curva.
  2. Encontrar a derivada da função vetor, que é a r'(t).
  3. Desenhar o vetor posição r(t) e o vetor tangente r'(t) para .
Para tudo isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e derivadas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função vetor . Essa função nos dá as coordenadas (x, y) de cada ponto na curva para um valor específico de t.

Passo 3

Para esboçar o gráfico da curva, podemos pensar em t como um parâmetro que varia e gera diferentes pontos (x, y). Por exemplo:
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
Com vários pontos assim, conseguimos desenhar a curva no plano cartesiano.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada da função vetor, r'(t). A derivada nos dá a taxa de variação da posição em relação a t, ou seja, o vetor tangente à curva.
Calculando:
Então, .

Passo 5

Vamos avaliar r(t) e r'(t) para :

Passo 6

Agora, vamos esboçar os vetores no ponto correspondente a , que é . O vetor posição aponta desse ponto até a origem, e o vetor tangente mostra a direção da curva naquele ponto.

Resposta

A derivada da função vetor é . Para , temos e . O gráfico da curva é uma parábola, e no ponto , o vetor tangente aponta na direção .

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