Em cada caso, esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada, encontre
, e esboce o vetor posição
e o vetor tangente
para o valor dado de
.
a)
a)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma curva plana definida por uma equação vetorial:
. Nosso objetivo é:
- Esboçar o gráfico dessa curva.
- Encontrar a derivada da função vetor, que é a
. - Desenhar o vetor posição
e o vetor tangente para .
Para tudo isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e derivadas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função vetor
. Essa função nos dá as coordenadas
de cada ponto na curva para um valor específico de
.
Passo 3
Para esboçar o gráfico da curva, podemos pensar em
como um parâmetro que varia e gera diferentes pontos
. Por exemplo:
- Quando
: - Quando
: - Quando
:
Com vários pontos assim, conseguimos desenhar a curva no plano cartesiano.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada da função vetor,
. A derivada nos dá a taxa de variação da posição em relação a
, ou seja, o vetor tangente à curva.
Calculando:
Então,
.
Passo 5
Vamos avaliar
e
para
:
Passo 6
Agora, vamos esboçar os vetores no ponto correspondente a
, que é
. O vetor posição
aponta desse ponto até a origem, e o vetor tangente
mostra a direção da curva naquele ponto.
Resposta
A derivada da função vetor é
. Para
, temos
e
. O gráfico da curva é uma parábola, e no ponto
, o vetor tangente aponta na direção
.