Ache a solução geral e o maior intervalo onde a solução está definida:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar um fator integrante. Vamos seguir passo a passo para encontrar a solução geral e o maior intervalo onde ela está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação padrão:
Aqui, temos:
Passo 3
Agora, temos que encontrar o fator integrante. A fórmula para o fator integrante (
) é:
Vamos calcular:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Passo 6
Vamos resolver a integral
. Podemos usar substituição:
Deixe
, então
, ou seja,
.
Reescrevemos a integral:
Mas
, então:
Passo 7
Agora, usamos integração por partes para
:
Seja
e
, então
e
.
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Então, voltando:
Substituindo
:
Passo 8
Voltando à nossa equação:
Agora, isolamos
:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
E essa solução está definida para todo o conjunto dos números reais, ou seja, para
.