Ache a solução geral e o maior intervalo onde a solução está definida: d y/d x + 2 x y = x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar um fator integrante. Vamos seguir passo a passo para encontrar a solução geral e o maior intervalo onde ela está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação padrão:
Aqui, temos:

Passo 3

Agora, temos que encontrar o fator integrante. A fórmula para o fator integrante ( ) é:
Vamos calcular:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:

Passo 6

Vamos resolver a integral . Podemos usar substituição:
Deixe , então , ou seja, .
Reescrevemos a integral:
Mas , então:

Passo 7

Agora, usamos integração por partes para :
Seja e , então e .
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Então, voltando:
Substituindo :

Passo 8

Voltando à nossa equação:
Agora, isolamos :

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
E essa solução está definida para todo o conjunto dos números reais, ou seja, para .

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