Resolva as seguintes equaçōes diferenciais: (1.5) x^2 dy/dx - 2 x y = 3 y^2

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que envolve termos não lineares em . Para resolver, vamos utilizar o método das equações de Bernoulli, que é apropriado quando a equação tem a forma .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão das equações de Bernoulli. Dividindo todos os termos por , temos:
Simplificando os coeficientes:
Agora, a equação está na forma , onde , e .

Passo 3

O próximo passo no método de Bernoulli é fazer uma substituição para transformar a equação em uma equação linear. Definimos . Como , temos:
Agora, calculamos a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituímos e na equação original usando :
Simplificando:
Como , podemos substituir:
Agora, temos uma equação diferencial linear em .

Passo 5

Para resolver a equação linear , vamos utilizar um fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:

Passo 6

A equação agora se torna:
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para :
Lembrando que , então:
Invertemos para encontrar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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