Resolva as seguintes equaçōes diferenciais:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que envolve termos não lineares em
. Para resolver, vamos utilizar o método das equações de Bernoulli, que é apropriado quando a equação tem a forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão das equações de Bernoulli. Dividindo todos os termos por
, temos:
Simplificando os coeficientes:
Agora, a equação está na forma
, onde
,
e
.
Passo 3
O próximo passo no método de Bernoulli é fazer uma substituição para transformar a equação em uma equação linear. Definimos
. Como
, temos:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação original usando
:
Simplificando:
Como
, podemos substituir:
Agora, temos uma equação diferencial linear em
.
Passo 5
Para resolver a equação linear
, vamos utilizar um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Passo 6
A equação agora se torna:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
:
Lembrando que
, então:
Invertemos para encontrar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.