Resolva as seguintes equaçōes diferenciais: (1,5) dy/dx = xy / (x^2 - y^2)

Passo 1

Oi! Vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de problema pertence ao estudo de equações diferenciais, que são usadas para modelar situações onde uma quantidade muda em relação a outra. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre substituições que facilitam resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 1,5 para deixar isolado. Isso nos dá:
Isso facilita a visualização da equação para os próximos passos.

Passo 3

Agora, percebemos que a equação pode ser simplificada usando uma substituição. Vamos assumir que . Isso significa que . Essa substituição é útil porque transforma a equação em termos de e , o que pode torná-la mais fácil de resolver.

Passo 4

Vamos derivar em relação a para encontrar :
Agora, substituímos e na equação original:

Passo 5

Simplificando o lado direito da equação:
Então, a equação fica:

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para isolar os termos com :
Simplificando o lado direito:

Passo 7

Agora, separamos as variáveis e :
Essa separação nos permite integrar ambos os lados para encontrar a solução.

Passo 8

Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, simplificamos a fração do lado esquerdo:
Podemos decompor essa fração em frações parciais, mas para simplificar, observamos que:
Após resolver as constantes e , a integração resulta em:

Passo 9

Substituímos de volta na equação:
Podemos simplificar essa expressão exponenciando ambos os lados para resolver para :
Após rearranjar, obtemos a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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