Mostre que y1 = 1/x é uma solução particular da equação de Ricatti abaixo encontre a solução geral.
x^2 y' - x^2 y^2 + x y + 1 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que mostrar que é uma solução particular da equação de Riccati dada por:
Depois, precisamos encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais, especialmente a forma das equações de Riccati.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente satisfaz a equação. Para isso, precisamos calcular a derivada de em relação a .
A derivada de é:

Passo 3

Agora, substituímos e na equação de Riccati:
Simplificando cada termo:
Como os termos se cancelam e resultam em zero, confirmamos que é realmente uma solução particular da equação.

Passo 4

Agora, para encontrar a solução geral da equação de Riccati, podemos fazer uma substituição que transforma a equação de Riccati em uma equação diferencial linear. Sabemos que se , onde é uma solução particular, então podemos substituir na equação original.
Vamos definir:

Passo 5

Calculando a derivada de em relação a :

Passo 6

Substituindo e na equação de Riccati original:
Simplificando passo a passo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Quarto termo:
Somando todos os termos:
Simplificando:

Passo 7

Vamos reorganizar a equação:
Multiplicando toda a equação por para eliminar os denominadores:
Dividindo por :

Passo 8

Agora, temos uma equação diferencial linear para :
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação por :
Isso pode ser reescrito como:

Passo 9

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Resolvendo para :

Passo 11

Lembrando que , substituímos :
Para simplificar, vamos multiplicar numerador e denominador por :
Podemos reescrever isso como:

Resposta

A solução geral da equação é
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados