Mostre que
é uma solução particular da equação de Ricatti abaixo encontre a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que mostrar que
é uma solução particular da equação de Riccati dada por:
Depois, precisamos encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais, especialmente a forma das equações de Riccati.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
realmente satisfaz a equação. Para isso, precisamos calcular a derivada de
em relação a
.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na equação de Riccati:
Simplificando cada termo:
Como os termos se cancelam e resultam em zero, confirmamos que
é realmente uma solução particular da equação.
Passo 4
Agora, para encontrar a solução geral da equação de Riccati, podemos fazer uma substituição que transforma a equação de Riccati em uma equação diferencial linear. Sabemos que se
, onde
é uma solução particular, então podemos substituir na equação original.
Vamos definir:
Passo 5
Calculando a derivada de
em relação a
:
Passo 6
Substituindo
e
na equação de Riccati original:
Simplificando passo a passo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Quarto termo:
Somando todos os termos:
Simplificando:
Passo 7
Vamos reorganizar a equação:
Multiplicando toda a equação por
para eliminar os denominadores:
Dividindo por
:
Passo 8
Agora, temos uma equação diferencial linear para
:
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Resolvendo para
:
Passo 11
Lembrando que
, substituímos
:
Para simplificar, vamos multiplicar numerador e denominador por
:
Podemos reescrever isso como:
Resposta
A solução geral da equação é
onde
é uma constante arbitrária.