Esboce o campo vetorial F, desenhando um diagrama de flechas.
c. F(x, y, z) = x * k

Passo 1

Então, vamos lá! A gente vai esboçar um campo vetorial definido por . Isso faz parte do estudo de campos vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar vetores no espaço tridimensional e como esses vetores variam de acordo com as coordenadas , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é o vetor unitário na direção do eixo , ou seja, . Então, o campo vetorial depende apenas da coordenada . Isso quer dizer que, para cada ponto no espaço, o vetor vai apontar na direção do eixo e ter uma magnitude igual ao valor de naquele ponto.

Passo 3

Vamos visualizar isso melhor. Imagine um sistema de coordenadas 3D com os eixos , e . Para qualquer ponto nesse espaço, o vetor será . Isso significa que:
  • Se , o vetor aponta para cima no eixo com comprimento proporcional a .
  • Se , o vetor aponta para baixo no eixo com comprimento proporcional a .
  • Se , o vetor é um vetor nulo, ou seja, não tem comprimento.

Passo 4

Para esboçar o campo vetorial, podemos seguir alguns passos:
  1. Escolher pontos no espaço: Vamos pegar vários pontos com diferentes valores de .
  2. Determinar os vetores : Para cada ponto, calculamos .
  3. Desenhar os vetores: No gráfico, representamos cada vetor na posição do ponto correspondente, apontando na direção do eixo e com comprimento proporcional a .

Passo 5

Vamos fazer alguns exemplos:
  • No ponto , : um vetor apontando para cima com comprimento 1.
  • No ponto , : um vetor apontando para baixo com comprimento 2.
  • No ponto , : sem vetor.

Passo 6

Com esses vetores desenhados em vários pontos, você vai notar que:
  • Para , os vetores aumentam de tamanho conforme aumenta.
  • Para , os vetores também aumentam de tamanho, mas apontam na direção oposta.
  • No plano , não há influência, pois não aparece na equação de .

Resposta

O campo vetorial consiste em vetores que apontam na direção do eixo , com magnitudes iguais ao valor de em cada ponto. Para esboçar, desenhe vetores verticais no espaço tridimensional, com comprimento positivo para e negativo para , variando proporcionalmente conforme muda.

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