Esboce o campo vetorial
, desenhando um diagrama de flechas.
c.
c.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente vai esboçar um campo vetorial
definido por
. Isso faz parte do estudo de campos vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar vetores no espaço tridimensional e como esses vetores variam de acordo com as coordenadas
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
é o vetor unitário na direção do eixo
, ou seja,
. Então, o campo vetorial
depende apenas da coordenada
. Isso quer dizer que, para cada ponto no espaço, o vetor
vai apontar na direção do eixo
e ter uma magnitude igual ao valor de
naquele ponto.
Passo 3
Vamos visualizar isso melhor. Imagine um sistema de coordenadas 3D com os eixos
,
e
. Para qualquer ponto
nesse espaço, o vetor
será
. Isso significa que:
- Se
, o vetor aponta para cima no eixo com comprimento proporcional a . - Se
, o vetor aponta para baixo no eixo com comprimento proporcional a . - Se
, o vetor é um vetor nulo, ou seja, não tem comprimento.
Passo 4
Para esboçar o campo vetorial, podemos seguir alguns passos:
- Escolher pontos no espaço: Vamos pegar vários pontos com diferentes valores de
. - Determinar os vetores
: Para cada ponto, calculamos . - Desenhar os vetores: No gráfico, representamos cada vetor na posição do ponto correspondente, apontando na direção do eixo
e com comprimento proporcional a .
Passo 5
Vamos fazer alguns exemplos:
- No ponto
, : um vetor apontando para cima com comprimento 1. - No ponto
, : um vetor apontando para baixo com comprimento 2. - No ponto
, : sem vetor.
Passo 6
Com esses vetores desenhados em vários pontos, você vai notar que:
- Para
, os vetores aumentam de tamanho conforme aumenta. - Para
, os vetores também aumentam de tamanho, mas apontam na direção oposta. - No plano
, não há influência, pois não aparece na equação de .
Resposta
O campo vetorial
consiste em vetores que apontam na direção do eixo
, com magnitudes iguais ao valor de
em cada ponto. Para esboçar, desenhe vetores verticais no espaço tridimensional, com comprimento positivo para
e negativo para
, variando proporcionalmente conforme
muda.