Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando a técnica de EDO Separável. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias e vamos precisar separar as variáveis para integrar e achar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado:
Passo 3
A ideia da EDO Separável é conseguir separar as partes que envolvem
das que envolvem
. Então, vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
:
Passo 4
Agora, vamos integrar os dois lados da equação. Isso significa que vamos encontrar as antiderivadas de cada lado:
Passo 5
Vamos calcular essas integrais:
- Do lado esquerdo:
- Do lado direito:
Aqui,
e
são constantes de integração. Podemos simplificar isso juntando as constantes em uma só, já que elas são arbitrárias.
Passo 6
Igualando as integrais e simplificando as constantes:
Multiplicando tudo por
:
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
:
Podemos reescrever a constante
como apenas
para simplificar:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais triplas
para o sólido
limitado pelos objetos listados abaixo e para a
apontada:
(1.3) parabolóides e
(1.3) parabolóides
Calcule
em que
é a região limitada pela circunferência
.
É verdade que, se
é uma série divergente de números positivos, também existe uma série divergente
de números positivos com
para cada
? Existe uma
Calcule as integrais triplas
para o sólido
limitado pelos objetos listados abaixo e para a
apontada:
(1.5) esfera e pelos cones
e
(1.5) esfera