É verdade que, se sumn=1^infty an é uma série divergente de números positivos, também existe uma série divergente sumn=1^infty bn de números positivos com bn para cada n? Existe uma

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos perguntando. Temos uma série infinita de números positivos, denotada por sumn=1^infty an, que é divergente, ou seja, ela não tem uma soma finita. A pergunta é: Existe outra série infinita de números positivos, sumn=1^infty bn, que também seja divergente, onde cada termo bn é menor que an?
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos sobre séries infinitas, convergência e divergência, além de como comparar termos de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma série ser divergente. Uma série sumn=1^infty an é divergente se a soma dos seus termos não converge para um número finito. Exemplos clássicos de séries divergentes são a série harmônica sumn=1^infty 1n.
Agora, queremos encontrar uma série sumn=1^infty bn onde cada termo bn < an e que essa série também seja divergente. Para isso, podemos pensar em multiplicar cada termo an por uma constante positiva menor que 1.

Passo 3

Vamos definir uma constante c tal que 0 < c < 1. Então, definimos bn = c cdot an para todo n. Como c é menor que 1, temos que bn < an para cada termo.
Agora, analisamos a série sumn=1^infty bn = sumn=1^infty c cdot an = c cdot sumn=1^infty an.

Passo 4

Sabemos que se sumn=1^infty an é divergente, então multiplicar essa série por uma constante positiva diferente de zero não altera sua propriedade de divergência. Ou seja, sumn=1^infty c cdot an também será uma série divergente, já que é apenas uma “escala” menor da série original.
Isso significa que a série sumn=1^infty bn definida como bn = c cdot an, com 0 < c < 1, é divergente e cada termo bn é menor que an.

Resposta

Sim, para toda série divergente sumn=1^infty an de números positivos, existe uma série divergente sumn=1^infty bn de números positivos com bn < an para cada n. Isso pode ser feito escolhendo uma constante c tal que 0 < c < 1 e definindo bn = c cdot an.

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