É verdade que, se
é uma série divergente de números positivos, também existe uma série divergente
de números positivos com
para cada
? Existe uma
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos perguntando. Temos uma série infinita de números positivos, denotada por
, que é divergente, ou seja, ela não tem uma soma finita. A pergunta é: Existe outra série infinita de números positivos,
, que também seja divergente, onde cada termo
é menor que
?
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos sobre séries infinitas, convergência e divergência, além de como comparar termos de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma série ser divergente. Uma série
é divergente se a soma dos seus termos não converge para um número finito. Exemplos clássicos de séries divergentes são a série harmônica
.
Agora, queremos encontrar uma série
onde cada termo
e que essa série também seja divergente. Para isso, podemos pensar em multiplicar cada termo
por uma constante positiva menor que 1.
Passo 3
Vamos definir uma constante
tal que
. Então, definimos
para todo
. Como
é menor que 1, temos que
para cada termo.
Agora, analisamos a série
.
Passo 4
Sabemos que se
é divergente, então multiplicar essa série por uma constante positiva diferente de zero não altera sua propriedade de divergência. Ou seja,
também será uma série divergente, já que é apenas uma “escala” menor da série original.
Isso significa que a série
definida como
, com
, é divergente e cada termo
é menor que
.
Resposta
Sim, para toda série divergente
de números positivos, existe uma série divergente
de números positivos com
para cada
. Isso pode ser feito escolhendo uma constante
tal que
e definindo
.
Exercícios relacionados
Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
Calcule as integrais triplas
para o sólido
limitado pelos objetos listados abaixo e para a
apontada:
(1.3) parabolóides e
(1.3) parabolóides
Calcule as integrais triplas
para o sólido
limitado pelos objetos listados abaixo e para a
apontada:
(1.5) esfera e pelos cones
e
(1.5) esfera
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável: