Calcule as integrais triplas integral duplaU integral f(x, y, z) d x d y d z para o sólido U limitado pelos objetos listados abaixo e para a f apontada:
(1.5) esfera x^2+y^2+z^2=25 e pelos cones z=raizx^2+y^2 e z=2 raizx^2+y^2 ; f(x, y, z)=(x^2+y^2+z^2)^32

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que envolve integrar uma função em um sólido específico. O enunciado pede para calcular a integral tripla de sobre o sólido que é limitado por uma esfera e dois cones. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis quando trabalhamos com esferas e cones. Vamos precisar entender como transformar as equações do espaço para coordenadas esféricas e montar os limites de integração certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a transformação para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto x = rho sinphi costheta é representado por y = rho sinphi sintheta , onde:
  • z = rho cosphi é a distância do ponto à origem.
  • dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta é o ângulo no plano (longitude).
  • é o ângulo com o eixo (co-latitude).
As relações são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, vamos transformar as equações que delimitam nosso sólido para coordenadas esféricas.
  1. Esfera:
    • Em coordenadas esféricas: então .
  2. Cone 1:
    • Dividindo ambos os lados por :
    • Então: que implica ou radianos.
  3. Cone 2:
    • Dividindo por :
    • Então: que implica .
Portanto, os limites para vão de até .
Os limites para são de 0 até 5, já que a esfera tem raio 5.
E para , como o sólido é simétrico em torno do eixo , varia de 0 a .

Passo 4

Agora que temos os limites de integração, vamos montar a integral tripla em coordenadas esféricas. Lembrando que integral triplaU f(x, y, z) , dV = integral0^2pi integralarctan(12)^pi4 integral0^5 rho^3 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta em coordenadas esféricas fica integral0^2pi dtheta integralarctan(12)^pi4 sinphi , dphi integral0^5 rho^5 , drho , já que integral0^5 rho^5 , drho = [ rho^66 ]0^5 = 5^66 = 156256 e então integralarctan(12)^pi4 sinphi , dphi = [ -cosphi ]arctan(12)^pi4 = -cos(pi4) + cos(arctan(12)) .
Então, a integral fica:
= -raiz22 + 2raiz5
Simplificando:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Agora, vamos resolver cada integral separadamente.
  1. Integral em integral triplaU f(x, y, z) , dV = 2pi ( -raiz22 + 2raiz5 ) cdot 156256 :
= 2pi ( 2raiz5 - raiz22 ) cdot 156256
  1. Integral em = 31250pi6 ( 2raiz5 - raiz22 ) :
= 15625pi3 ( 2raiz5 - raiz22 )
Sabendo que e :
  1. Integral em :
Agora, juntando tudo:
Simplificando:

Resposta

A integral tripla vale:
15625pi3 ( 2raiz5 - raiz22 )

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