Calcule as integrais triplas
para o sólido
limitado pelos objetos listados abaixo e para a
apontada:
(1.5) esfera
e pelos cones
e
(1.5) esfera
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que envolve integrar uma função em um sólido específico. O enunciado pede para calcular a integral tripla de
sobre o sólido
que é limitado por uma esfera e dois cones. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis quando trabalhamos com esferas e cones. Vamos precisar entender como transformar as equações do espaço para coordenadas esféricas e montar os limites de integração certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a transformação para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto
é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto à origem. -
é o ângulo no plano (longitude). -
é o ângulo com o eixo (co-latitude).
As relações são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos transformar as equações que delimitam nosso sólido
para coordenadas esféricas.
-
Esfera:
- Em coordenadas esféricas:
então .
- Em coordenadas esféricas:
-
Cone 1:
- Dividindo ambos os lados por
: - Então:
que implica ou radianos.
- Dividindo ambos os lados por
-
Cone 2:
- Dividindo por
: - Então:
que implica .
- Dividindo por
Portanto, os limites para
vão de
até
.
Os limites para
são de 0 até 5, já que a esfera tem raio 5.
E para
, como o sólido é simétrico em torno do eixo
,
varia de 0 a
.
Passo 4
Agora que temos os limites de integração, vamos montar a integral tripla em coordenadas esféricas. Lembrando que
em coordenadas esféricas fica
, já que
e então
.
Então, a integral fica:
Simplificando:
Agora, vamos resolver cada integral separadamente.
- Integral em
:
- Integral em
:
Sabendo que
e
:
- Integral em
:
Agora, juntando tudo:
Simplificando:
Resposta
A integral tripla vale:
Exercícios relacionados
É verdade que, se
é uma série divergente de números positivos, também existe uma série divergente
de números positivos com
para cada
? Existe uma
Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Determine se a série
converge ou diverge. Justifique sua resposta.
Teoria e exemplos
Para quais valores de
, se houver algum, as séries nos Exercícios 41 e 42 convergem?
41.
41.