Determine o momento de inércia dos seguintes sólidos:
(7.2) limitado pelo plano
e pelo hemisfério
, em relação ao seu eixo, com densidade constante
(7.2) limitado pelo plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o momento de inércia de um sólido limitado pelo plano
e pelo hemisfério
onde
, com densidade constante
, em relação ao seu próprio eixo. Vamos precisar usar conceitos de Momentos de Inércia da física, calcular integrais em coordenadas apropriadas e entender como a densidade influencia no cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. O momento de inércia (
) de um objeto em torno de um eixo é uma medida de quanta resistência ele oferece à rotação em torno desse eixo. Matematicamente, é dado por:
Aqui,
é a distância perpendicular de um elemento de massa (
) ao eixo de rotação.
Passo 3
Como estamos lidando com um hemisfério, é mais conveniente usar coordenadas esféricas para fazer os cálculos. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é definido por:
-
: distância do ponto à origem, -
: ângulo polar (em relação ao eixo z), -
: ângulo azimutal (em torno do eixo z).
A densidade
é constante, e o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Como a densidade é constante, podemos relacionar a massa
ao elemento de volume:
Passo 4
Agora, precisamos expressar
, a distância perpendicular ao eixo de rotação (eixo z). Em coordenadas esféricas, essa distância é:
Substituindo isso na fórmula do momento de inércia:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver as integrais uma a uma.
Primeiro, a integral em
:
Em seguida, a integral em
:
Usando uma tabela de integrais ou técnicas de integração, sabemos que:
Então:
Por fim, a integral em
:
Passo 6
Agora, juntando tudo:
Então, o momento de inércia do hemisfério em relação ao seu eixo é:
Resposta
O momento de inércia do hemisfério em relação ao seu eixo é
.
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