Determine o momento de inércia dos seguintes sólidos:
(7.2) limitado pelo plano z = 0 e pelo hemisfério x^2 + y^2 + z^2 = a^2, z ≥ 0, em relação ao seu eixo, com densidade constante sigma_0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o momento de inércia de um sólido limitado pelo plano e pelo hemisfério onde , com densidade constante , em relação ao seu próprio eixo. Vamos precisar usar conceitos de Momentos de Inércia da física, calcular integrais em coordenadas apropriadas e entender como a densidade influencia no cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. O momento de inércia ( ) de um objeto em torno de um eixo é uma medida de quanta resistência ele oferece à rotação em torno desse eixo. Matematicamente, é dado por:
Aqui, é a distância perpendicular de um elemento de massa ( ) ao eixo de rotação.

Passo 3

Como estamos lidando com um hemisfério, é mais conveniente usar coordenadas esféricas para fazer os cálculos. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é definido por:
  • : distância do ponto à origem,
  • : ângulo polar (em relação ao eixo z),
  • : ângulo azimutal (em torno do eixo z).
A densidade é constante, e o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Como a densidade é constante, podemos relacionar a massa ao elemento de volume:

Passo 4

Agora, precisamos expressar , a distância perpendicular ao eixo de rotação (eixo z). Em coordenadas esféricas, essa distância é:
Substituindo isso na fórmula do momento de inércia:
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver as integrais uma a uma.
Primeiro, a integral em :
Em seguida, a integral em :
Usando uma tabela de integrais ou técnicas de integração, sabemos que:
Então:
Por fim, a integral em :

Passo 6

Agora, juntando tudo:
Então, o momento de inércia do hemisfério em relação ao seu eixo é:

Resposta

O momento de inércia do hemisfério em relação ao seu eixo é .

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