Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
y' = (4 x^2 + y^2) / (x y)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada por:
Este exercício envolve o conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente utilizando a técnica de EDO Separável. Para resolver, vamos precisar rearranjar a equação para separar as variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada de forma mais clara:
Nosso objetivo é separar os termos que envolvem dos que envolvem .

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por para simplificar:
Isso nos ajuda a isolar os termos com de um lado e os termos com do outro.

Passo 4

Agora, vamos reorganizar os termos para efetivamente separar as variáveis:
Perceba que agora temos em um lado e no outro, o que facilita a integração.

Passo 5

Vamos dividir ambos os lados por para simplificar ainda mais:
Agora, temos uma forma que permite integrar ambos os lados em relação a .

Passo 6

A equação está pronta para integrar. Reescrevemos:
Isso nos levará às soluções gerais da EDO.

Passo 7

Após integrar ambos os lados, obtemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Para encontrar uma solução explícita, precisaríamos de condições iniciais ou realizar mais manipulações, mas a solução geral da EDO é dada por:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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