Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada por:
Este exercício envolve o conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente utilizando a técnica de EDO Separável. Para resolver, vamos precisar rearranjar a equação para separar as variáveis
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada de forma mais clara:
Nosso objetivo é separar os termos que envolvem
dos que envolvem
.
Passo 3
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para simplificar:
Isso nos ajuda a isolar os termos com
de um lado e os termos com
do outro.
Passo 4
Agora, vamos reorganizar os termos para efetivamente separar as variáveis:
Perceba que agora temos
em um lado e
no outro, o que facilita a integração.
Passo 5
Vamos dividir ambos os lados por
para simplificar ainda mais:
Agora, temos uma forma que permite integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
A equação está pronta para integrar. Reescrevemos:
Isso nos levará às soluções gerais da EDO.
Passo 7
Após integrar ambos os lados, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Para encontrar uma solução explícita, precisaríamos de condições iniciais ou realizar mais manipulações, mas a solução geral da EDO é dada por:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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