Analise a diferenciabilidade de
no ponto
da função
Passo 1
Vamos analisar a diferenciabilidade da função
no ponto
. A função dada é uma função de duas variáveis, e queremos verificar se ela é diferenciável nesse ponto específico. Para isso, precisamos entender conceitos de limite, continuidade e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
para facilitar a análise. Para
, temos:
Podemos fatorar o numerador:
Então, a função fica:
Passo 3
Para verificar a diferenciabilidade, primeiro precisamos verificar a continuidade da função no ponto
. Uma função é contínua nesse ponto se o limite dela quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 4
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Usando a substituição
e
, a função se torna:
Queremos calcular:
Passo 5
Vamos calcular o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se ele é único.
- Caminho 1:
, onde é uma constante.
Substituindo:
À medida que
, o limite é
.
- Caminho 2:
.
Substituindo:
Passo 6
Observamos que o valor do limite depende da constante
no Caminho 1. Isso significa que diferentes caminhos resultam em limites diferentes. Por exemplo:
- Se
, o limite é . - Se
, o limite é .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, o limite geral
não existe.
Passo 7
Como o limite de
quando
se aproxima de
não existe, a função
não é contínua nesse ponto. A continuidade é uma condição necessária para a diferenciabilidade, ou seja, se a função não é contínua, ela também não pode ser diferenciável.
Resposta
A função
não é diferenciável no ponto
.
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