Analise a diferenciabilidade de f no ponto (2,1) da função
f(x, y)=cc x y-x-2 y+2(x-2)^2+(y-1)^2 & se (x, y) neq(2,1) 0 & se (x, y)=(2,1)

Passo 1

Vamos analisar a diferenciabilidade da função no ponto . A função dada é uma função de duas variáveis, e queremos verificar se ela é diferenciável nesse ponto específico. Para isso, precisamos entender conceitos de limite, continuidade e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(x, y) = xy - x - 2y + 2(x - 2)^2 + (y - 1)^2 para facilitar a análise. Para xy - x - 2y + 2 = x(y - 1) - 2(y - 1) = (x - 2)(y - 1) , temos:
f(x, y) = (x - 2)(y - 1)(x - 2)^2 + (y - 1)^2
Podemos fatorar o numerador:
Então, a função fica:

Passo 3

Para verificar a diferenciabilidade, primeiro precisamos verificar a continuidade da função no ponto . Uma função é contínua nesse ponto se o limite dela quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 4

Vamos calcular o limite de f(u, v) = u cdot vu^2 + v^2 quando lim(u, v) to (0,0) u cdot vu^2 + v^2 se aproxima de . Usando a substituição e , a função se torna:
Queremos calcular:

Passo 5

Vamos calcular o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se ele é único.
  • Caminho 1: f(u, v) = u cdot (k u)u^2 + (k u)^2 = k u^2u^2(1 + k^2) = k1 + k^2 , onde f(0, v) = 0 cdot v0 + v^2 = 0 é uma constante.
Substituindo:
À medida que , o limite é .
  • Caminho 2: .
Substituindo:

Passo 6

Observamos que o valor do limite depende da constante no Caminho 1. Isso significa que diferentes caminhos resultam em limites diferentes. Por exemplo:
  • Se , o limite é .
  • Se , o limite é .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, o limite geral não existe.

Passo 7

Como o limite de quando se aproxima de não existe, a função não é contínua nesse ponto. A continuidade é uma condição necessária para a diferenciabilidade, ou seja, se a função não é contínua, ela também não pode ser diferenciável.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto .

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