Usando integral tripla, calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro
(parte interna) e por:
(2.3) esfera
(2.3) esfera
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o volume de um sólido que está dentro de um cilindro definido por
e também dentro de uma esfera definida por
. Para resolver isso, vamos usar integrais triplas, que são ferramentas poderosas para calcular volumes em três dimensões. Vamos precisar converter essas equações para coordenadas cilíndricas para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o cilindro
. Podemos reescrever essa equação completando o quadrado:
Isso mostra que o cilindro é na verdade um cilindro circular de raio 1, centrado no ponto
. Em coordenadas cilíndricas, onde
e
, a equação do cilindro fica:
Então, o raio
varia de 0 a
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a esfera
. Em coordenadas cilíndricas, isso se torna:
Portanto, para cada valor de
,
varia de
a
.
Passo 4
Agora que temos as expressões em coordenadas cilíndricas, podemos montar os limites de integração:
-
varia de a porque é válido apenas nesse intervalo para que seja positivo. -
varia de 0 a . -
varia de a .
Passo 5
A integral tripla para o volume
fica assim:
Aqui,
é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Vamos começar resolvendo a integral mais interna, que é em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral em relação a
. Vamos fazer uma substituição
, então
. Isso simplifica a integral para:
Simplificando:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Sabemos que
por simetria, então:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
Calcule as integrais triplas
para o sólido
limitado pelos objetos listados abaixo e para a
apontada:
(1.6) esferas e pelos cones
e
;
(1.6) esferas
Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
Determine a massa dos seguintes sólidos:
(4.2) limitado pelo cilindro de raio e altura
, cuja densidade em cada ponto é diretamente proporcional ao quadrado da distância entre cada ponto e o centro da base, assumindo o valor
na borda da base
(4.2) limitado pelo cilindro de raio