Usando integral tripla, calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro x^2 + y^2 = 2 x (parte interna) e por:
(2.3) esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o volume de um sólido que está dentro de um cilindro definido por e também dentro de uma esfera definida por . Para resolver isso, vamos usar integrais triplas, que são ferramentas poderosas para calcular volumes em três dimensões. Vamos precisar converter essas equações para coordenadas cilíndricas para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o cilindro . Podemos reescrever essa equação completando o quadrado:
Isso mostra que o cilindro é na verdade um cilindro circular de raio 1, centrado no ponto . Em coordenadas cilíndricas, onde e , a equação do cilindro fica:
Então, o raio varia de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos analisar a esfera . Em coordenadas cilíndricas, isso se torna:
Portanto, para cada valor de , varia de a .

Passo 4

Agora que temos as expressões em coordenadas cilíndricas, podemos montar os limites de integração:
  • varia de a porque é válido apenas nesse intervalo para que seja positivo.
  • varia de 0 a .
  • varia de a .

Passo 5

A integral tripla para o volume fica assim:
Aqui, é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos começar resolvendo a integral mais interna, que é em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, resolvemos a integral em relação a . Vamos fazer uma substituição , então . Isso simplifica a integral para:
Simplificando:

Passo 8

Agora, a integral fica:
Sabemos que por simetria, então:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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